数论小记

$[n=1]=\sum\limits_{d|n} \mu(d)$

 

若：$F(n)=\sum\limits_{d|n} f(d)$

则：$f(n)=\sum\limits_{d|n} \mu(d) F(\frac{n}{d})$

 

若：$F(n)=\sum\limits_{n|d} f(d)$

则：$f(n)=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n}) F(d)$

 

$\phi(ab) = \frac{ \phi(a) \phi(b) \gcd(a,b) } { \phi(\gcd(a,b)) }$

 

$ \sum_{i=1}^n i^3 = (\sum_{i=1}^n i) ^ 2$

 

$g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^n (f * g)(i)-\sum\limits_{i=2}^n g(i)S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)$

 

二项式定理暴力展开 $x^k$：$x^k = \sum\limits_{j=0}^k {k \choose j} \times  x^j$。

用斯特林数表示：$x^k = \sum\limits_{j=0}^k {k \brace j}  {x \choose j} \times j!$