博弈论入门

写在前面

博弈论，又称为对策论（Game Theory）、赛局理论等，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。——百度百科

巴什博弈

两个人在 \(n\) 个石子面前玩取石子游戏，每个人每次可以取 \([1,m]\) 个，不能拿的人为败者，为谁会获胜

• 当石子的数目不多于 \(m\) 个时，很显然先手会胜
• 当石子数为 \(m + 1\) 个时，先手必败（先手无论拿多少个，后手都会把剩下的石子都拿走）

我们不难发现，当一个人面对 \(m + 1\) 个石子的时候肯定会败

于是乎，就得到了制胜秘诀

• 当石子数量 \(n = k * (m + 1) + r\) 时，先手先拿走 \(r\) 个石子，接着后者拿走 \(x\) 个石子，然后先手再拿走 \(m + 1 - x\) 个石子，这样下去先手必胜
• 当石子数量 \(n = k*(m + 1)\) 时，先手拿走 \(x\) 个石子，后者就会拿走 \(m + 1 - x\) 个石子，这样下去后者必胜

代码实现

if(n % (m+1) !=0) printf("first win");
else printf("second win");

P2197 nim 游戏

nim 游戏的规则是这样的：地上有 \(n\) 堆石子（每堆石子数量小于 \(10^4\) ），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。

假如甲是先手，且告诉你这 \(n\) 堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略

solution

有条结论：所有堆的石子数异或为 0，则先手必败，否则先手必胜

证明

最终的败态显然是所有堆的石子都为 0

0 \(\bigoplus\) 0 \(\bigoplus\) 0 \(\bigoplus\) 0 \(\bigoplus\) 0……\(\bigoplus\) 0 = 0

如果起初石子的异或和不为 0，即

\(a_1 \bigoplus a_2 \bigoplus a_3… a_n= r\)

假设 \(r\) 的最高位为 \(k\) 则一定有一堆石子的第 \(k\) 位为 \(1\) ，那么先手就可以通过改变这堆石子来使得异或和为 0，那么后手就必败了

如果起初石子的异或和为 0，因为先手一定要拿石子，所以它就不能使得石子的异或和为 0了，所以先手必败

code

/*
work by:Ariel_
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
int read(){
    int x = 0,f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0'||c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x*10 + c - '0'; c = getchar();}
    return x*f;
}
int T, n, Ans;
int main(){
   T = read();
   while(T--) { 
      n = read();
      Ans = read();
      for (int i = 2, x; i <= n; i++) x = read(), Ans ^= x;
      if(Ans == 0) printf("No\n");
      else printf("Yes\n");
   }
   puts("");
   return 0;
}

斐波那契博弈

一堆石子，两个人玩取石子游戏，先手第一次可以取任意多个，但是不能取完，以后每个人取得石子都不能超过上个人的两倍，不能取的那个人败

结论：当石子数为斐波那契数的时候，先手必败

证明：……

威佐夫博弈

有两堆石子，两个人玩取石子游戏，每个人可以从一堆石子里取任意多个，也可以从两堆石子里面取相同多个石子，不能取的那个人败

假设两堆石子分别为 \(a,b\) 且 \(a < b\)

如果 \((b−a)∗\frac{(\sqrt5 + 1)}2=a\) 则先手必败

证明 要用到 Beatty 定理 没大有用 = =