Manacher's Algorithm (马拉车算法)

比较好的学习笔记

应用： 查找一个字符串中最长回文子串的方法

将复杂度优化到了 \(O(n)\)

回文串的长度可奇可偶。（好像是废话）

预处理（在每一个字符左右都加'#'）那么无论奇偶，字符的个数都成了奇数，避免了分类讨论

aba -->  #a#b#a#
abba --> #a#b#b#a#

类比 \(KMP\) 算法，我们处理一个 P 数组，\(P[i]\) 表示以 \(a[i]\) 字符为中心的回文子串的半径(若 \(P[i] = 1\)，则该回文串就是 \(a[i]\) 本身)

关于半径

很明显我们求出最长的半径就知道最长回文串字符的个数

举个栗子：

A:# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
p:1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1

显然以中间 '1' 为中心的回文串半径最大为 6；原串为 22122, 长度为 5，正好为半径减一
奇数的举例也是如此，所以该办法可靠

关于起始位置

我们如果知道半径长度，但似乎无法定位子串，所以我们还要知道它的起始位置

solution: 我们再在原串起始位置加一个 $，所以起始位置就是中间位置减去半径再除以 2

关于为什么加 $, (避免与原串字符重复，进而不必改变P数组值)

$#b#o#b# 中'o'的位置是 4 ，半径是 4，相减为 0,再除 2，依然是 0；

$#1#2#2#1#2#2# 中间'1'的位置为 8，半径是 6，相减为 2，再除 2 是 1 所以原串中最长子串'22122'起始位置为 1；

关于 \(P\) 数组的求法

有关变量：\(mx\): 回文串能延伸到的最右端的位置；\(id\):为能延伸到最右端的位置的那个回文子串的中心点位置

核心代码

p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

对称点：

2 * id - i 是 j 关于中点 id 的对称点 (i + j) / 2 = id 方程两边同时乘以二, 得：i + j = 2 * id 移项， 得：j = 2 * id - i

1.当 \(mx - i > P_j\) 的时候，以 \(A_j\) 为中心的回文串必然包含在以 \(A_id\) 为中心的回文子串中，所以必有 \(P_i = P_j\), 见图

2.当 \(A_j >= mx - i\) 的时候，以 \(A_j\) 为中心的回文子串不一定在
\(A_id\) 为中心的回文子串中，但根据对称，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以 \(A_i\) 为中心的回文子串，其向右至少会扩张到 mx 的位置，也就是说 \(A_i \geq mx - i\) 至于 mx 之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了

3.对于 \(mx <= i\) 的情况，无法对 \(A_i\) 做更多的假设，只能\(A_i = 1\)，然后再去匹配了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 51000100;
char a[M],s[M << 1]; 
int n,p[M << 1],ans = 1;
void pre_(){
    s[0] = s[1] = '#';
	for(int i = 1;i <= n; i++){
		s[i * 2] = a[i];
		s[i * 2 + 1] = '#';
	}	
  n = n * 2 + 1;
}
void Mana_(){
	int mx = 0,id;
	for(int i = 1;i < n; i++){
		if(i < mx)//在范围内manacher精髓 
		p[i] = min(p[(id << 1) - i],p[id] + id - i);//前两种情况 
		else 
		p[i] = 1;
	   while(s[i + p[i]] == s[i - p[i]])p[i]++;//继续扩展p[i]长度 
	   if(i + p[i] > mx){
	   	  mx = i + p[i];//更新mx,id值
		  id = i;
	   }
    }
}
int main(){
	scanf("%s", a + 1);
	n = strlen(a + 1);
	pre_();
    Mana_();
	for(int i = 0;i <= n * 2 + 1; i++)
	        ans = max(ans, p[i]);
    printf("%d", ans - 1);
}