复习杂集 1

矩阵

例题 1：

题面

题目描述
给定一张由T条边构成的无向图，点的编号为1～1000之间的整数。
求从起点S到终点E恰好经过N条边（可以重复经过）的最短路。
注意：数据保证一定有解。
输入格式
第1行:包含四个整数N,T, S, E。2≤T≤100,2≤N<\(10^6\)
第2，···，T+1行：每行包含三个整数，描述一条边的边长以及构成边的两个点的编号。
输岀格式
输出一个整数，表示最短路的长度。

做法

（ \(M\) 为点数）

先离散化得到 \(M\)，建立 \(1 \times M\) 的矩阵，存到这个点的最短路程。

经过 \(1\) 条边的就是把这个矩阵与邻接表相乘（这里的乘法是先 \(+\) 再 \(min\)）。

那么经过 \(N\) 条边就是做个矩阵快速幂（ \(+min\) 乘法满足结合律）。

例题 2：

题面

A,B 是两个 \(N \times K\) 矩阵
步骤1：计算一个新的NxN矩阵C=AB。
步骤2:计算M=\(C^{N×N}\)。
步骤3：对于M中的每个元素r，计算c%6（c除以6的余数）。所有这些余数构成一个新的矩阵M'。
步骤4：计算M′中所有元素的和。
\(N \le 10^3，K \le 6\)

做法

\((A \times B)^{N \times N} = A \times (B \times A)^{N \times N -1} \times B\)

\(B \times A\) 是个 \(6 \times 6\) 矩阵，所以快速幂。