浅谈 Welter's Game

1.问题描述

在一个长度无限宽度为 1 的长条网格上，以 0 为起始下标，放置了 \(n\) 个棋子，位置按递增顺序分别为 \((a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n)\)，棋子位置不重叠。两个人进行博弈，每回合选择一个棋子，移动到他前方的空格上，允许跨过棋子，这个棋子原来的位置随即变为空格。任意时刻棋子的位置非负，无法移动棋子者负。问先手是否有必胜策略。

2.简单分析

显然，这是一个有限公平游戏，可以考虑应用 SG 定理求解给出状态的 SG 函数值，从而判断其胜负态。

定义一个状态为棋子的下标集合，集合中不应存在重复元素。每个状态的直接后继状态为选择某个元素减小，并且保持集合仍无重复元素。后继状态为空或均为必胜态的状态为必败态，反之为必胜态。

3.动画函数 (Animating Function)

3.0 拓展的异或

我们希望把异或运算拓展到负整数。

先定义负整数 \(x\) 在 \(\mathbb{N}\) 上的映射为 \(\overline{x}\)，\(\overline{x}\) 为 \(2^{\infty}-(x-1)\)，可以类比为有无限个 1 开头的计算机补码。

那么负整数和非负整数的异或运算就可以定义了：\(x\oplus_{ext} y=\overline{\overline{x}\oplus y}, x<0, y\geq 0\)。负整数之间的也可以类似定义。

后文中的 \(\oplus\) 号统一用拓展的定义。

3.1 定义

定义 \(f\) 是一个动画函数，当且仅当 \(f\) 是 \(\mathbb{Z}\) 上的函数，其形式为

\[f(x)=\cdots((((x\oplus a)+b)\oplus c)+d)\oplus \cdots \]

注意是有限次复合。

3.2 性质

3.2.1

• 动画函数 \(f\) 是 \(\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\) 上的单射。

每个子结构都是单射，单射的符合仍是单射。

这意味着存在反函数 \(f^{-1}\)，满足 \(f(f^{-1}(x))=x\)。

\(f^{-1}\) 也是动画函数，可以简单理解为把 \(f\) 的过程逆过来。

3.2.2

• 如果 \(f,g\) 都是动画函数，则 \(f(g)\) 还是动画函数。

系数显然都可以提取出来单独运算，化简后仍是动画函数的形式。

4.配对函数 (Mating Function)

4.1 定义

定义 \(M(x,y)\) 是一个在 \(\mathbb{Z}^2\) 上的函数，满足 \(M(x,y)=x\oplus y\oplus (x\oplus y-1)\)。特别的，\(M(x, x)=-1\)。

更直观的理解方式为找到 \(x\) 和 \(y\) 最低的不同的位，设这是第 \(d\) 位（从 0 开始），则 \(M(x,y)=2^{d+1}-1\)。

4.2 性质

4.2.1

• \[M(x,y)=M(x+a, y+a)=M(x\oplus a, y\oplus a) \]

显然，加法和异或操作不改变他们最低的不同位。

4.2.2

• 对任意动画函数 \(f\),\(M(x,y)=M(f(x), f(y))\)。

由 4.2.1 归纳可得。

4.2.3

• \(n\oplus M(n, 0)=n\oplus n\oplus 0\oplus(n\oplus 0-1)=n-1\)

• \(n\oplus M(n, -1)=n\oplus n\oplus -1\oplus(n\oplus (-1)-1)=n+1\)

4.2.4

• 任意动画函数均可写成 \(f(x)=x\oplus M(x,a_1)\oplus M(x,a_2)\oplus \cdots \oplus b\) 的形式。

可以归纳证明。假设 \(f\) 具有此形式，只需证明 \(f(x)\oplus m\), \(f(x)+1\), \(f(x)-1\) 也有。

\(f(x)\oplus m=x\oplus M(x,a_1)\oplus M(x,a_2)\oplus \cdots \oplus (b\oplus m)\)

\(f(x)+1=f(x)\oplus M(f(x), -1)=f(x)\oplus M(x, f^{-1}(-1))\)

\(f(x)-1=f(x)\oplus M(f(x), 0)=f(x)\oplus M(x, f^{-1}(0))\)

4.2.5

任意 \(x\neq y\), \(M(x,y)>0\)。

显然可以找到他们第一个不同的位。

5.动画函数的 Welter 范数

5.1 定义

我们先考虑 \(b=0\) 的动画函数，记 \([f]\) 为 \(f\) 的 Welter 范数，如下递归定义：

• 对于 \(f_{a}(x)=x\oplus M(x, a)\)，定义 \([f_{a}]=a\)，

• 对于 \(h=f\circ g\), \([h]=[f]\oplus [g]\)。

5.2 更直观的定义

先来看 \(f_{a,b}(x)=x\oplus M(x,a)\oplus M(x,b)\) 按上述递归定义的形式。

\[\begin{aligned} f_{a,b}(x)&=x\oplus M(x,a)\oplus M(x,b)\\\\ &=f_a(x)\oplus M(f_a(x), f_a(b))\\\\ &=f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(x)) \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} [f_{a,b}]&=[f_{b\oplus M(a,b)}(f_a)]\\\\ &=[f_{b\oplus M(a,b)}]\oplus[f_a]\\\\ &=a\oplus b\oplus M(a,b) \end{aligned} \]

再来看 \(f_{a,b,c}(x)=x\oplus M(x,a)\oplus M(x,b)\oplus M(x,c)\)

\[\begin{aligned} f_{a,b,c}(x)&=f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(x))\oplus M(x,c)\\\\ &=f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(x))\oplus M(f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(x)),f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(c)))\\\\ &=f_{f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(c))}(f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(x))) \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} [f_{a,b,c}]&=[f_{f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(c))}(f_{b\oplus M(a,b)}(f_a))]\\\\ &=[f_{f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(c))}]\oplus[f_{b\oplus M(a,b)}]\oplus[f_a]\\\\ &=f_{b\oplus M(a,b)}(f_a(c))\oplus b\oplus M(a,b)\oplus a\\\\ &=c\oplus M(a, c)\oplus M(f_a(b), f_a(c))\oplus b\oplus M(a,b)\oplus a\\\\ &=a\oplus b\oplus c\oplus M(a,b)\oplus M(a,c)\oplus M(b,c) \end{aligned} \]

如此我们可以归纳定义 \([f_{a_1, a_2, \cdots, a_{n}}]=\left(\bigoplus_{i=1}^{n}a_i\right)\oplus\left(\bigoplus_{1\leq i<j\leq n}M(a_i, a_j)\right)\)

为了简化记号，我们后文中用 \([a_1|a_2|\cdots|a_n]\) 代替 \([f_{a_1, a_2, \cdots, a_{n}}]\)。于是

\[[a_1|a_2|\cdots|a_n]=\left(\bigoplus_{i=1}^{n}a_i\right)\oplus\left(\bigoplus_{1\leq i<j\leq n}M(a_i, a_j)\right) \]

5.3 性质

5.3.1

• \([a_1|a_2|a_3|a_4|\cdots|a_n]=[[a_1|a_3|a_4|\cdots|a_n]|[a_2|a_3|a_4|\cdots|a_n]]\oplus [a_3|a_4|\cdots|a_n]\)

按定义展开即证。

5.3.2 配对算法

• 调换顺序使得 \(M(a_1, a_2)\) 是 \(M(a_i, a_j)\) 中最大的项，则 \([a_1|a_2|a_3|a_4|\cdots|a_n]=[a_3|a_4|\cdots|a_n]\)

被忽略的项为 \(\bigoplus_{i\geq 3}(M(a_1, a_i)\oplus M(a_2, a_i))\)。

\(M(a_1, a_2)\) 最大，这意味着他们是所有 \((a_i, a_j)\) 对中不同的最低位最大的，记为 \(d\)。那么其他数和他们的不同的最低位都小于 \(d\) （注意所有数互不相同）。而我们又知道 \(a_1\) 和 \(a_2\) 的低 \(d-1\) 位相同，所以 \(M(a_1, a_i)=M(a_2, a_i)\)，异或后抵消。

如此递归下去，我们实际上找到了 \(\frac{n}{2}\) 个配对和可能的一个单独的数，能够代表整个 \(\bigoplus_{1\leq i<j\leq n}M(a_i, a_j)\)。

5.3.3

• \([k|k|a_1|a_2|\cdots]=[a_1|a_2|\cdots]\oplus (-1)\), \(k\) 与 \(a_i\) 互不相同。

按定义式展开，两个 \(k\) 带来的影响抵消后只剩下 \(M(k,k)=-1\)。

5.3.4

• Welter 范数关于其每个参数都是动画函数。

以 \(a_1\) 为例，\([a_1|a_2|\cdots]=a_1\oplus M(a_1, a_2)\oplus M(a_1, a_3)\oplus \cdots\oplus\left((\bigoplus_{i=2}^{n}a_i)\oplus(\bigoplus_{2\leq i<j\leq n}M(a_i, a_j))\right)\)

5.3.5

• \([a|b|c\cdots]=[a^{\prime}|b^{\prime}|c\cdots]\)，当且仅当 \([a^{\prime}|b|c\cdots]=[a|b^{\prime}|c\cdots]\)

利用 5.3.1 展开两者分别得到

\([a|c\cdots]\oplus [b|c\cdots]=[a^{\prime}|c\cdots]\oplus [b^{\prime}|c\cdots]\)

\([a^{\prime}|c\cdots]\oplus [b|c\cdots]=[a|c\cdots]\oplus [b^{\prime}|c\cdots]\)

显然等价。

6.偶数变更理论

6.1 记号

记

\[\left[ \begin{matrix} a , b , c , \cdots \\\\ a^{\prime} , b^{\prime} , c^{\prime} , \cdots \end{matrix} \right] =\begin{matrix} n\\\\ n^{\prime} \end{matrix} \]

表示如下含义：

• \([a|b|c|\cdots]=n\)

• 任意替换某个上方的变量为下方的变量，\(n\) 变为 \(n^{\prime}\)，即 \([a^{\prime}|b|c\cdots]=[a|b^{\prime}|c\cdots]=[a|b|c^{\prime}\cdots]=\cdots=n^{\prime}\)

6.2 唯一性

• 若 \(n^{\prime}\neq n\)，则存在唯一一组 \(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}, \cdots\)，分别不同于 \(a,b,c,\cdots\)，满足上述条件。

由 5.3.4，Welter 范数是关于其每个参数都是动画函数，自然是单射且存在反函数，带入 \(n^{\prime}\) 一定能反解出唯一且不同于原来参数的解。

6.3 偶数变更不变性

• 对于等式 \([a|b|c|\cdots]=n\)，任意将上方偶数个变量（包括 \(n\)）替换为下方的变量，等式仍成立。

由 5.3.5 易得。

7.Welter's Game 的 SG 函数与游戏状态动画函数的 Welter 范数的关系

7.1 记号

记游戏状态 \(x=\{a_1, a_2, \cdots, a_l\}\)，表示 \(l\) 个棋子的位置集合。集合中不应有重复元素，集合元素均为非负整数。

记 \([x]=[a_1|a_2|\cdots|a_l]\)。

定义 \(suc(x)\) 为 \(x\) 的直接后继状态集合。状态 \(y\) 属于 \(suc(x)\)，当且仅当 \(y\) 与 \(x\) 仅存在一个元素不同，且这个元素小于 \(x\) 中对应元素。可以直观理解为在状态 \(x\) 进行了一次合法的移动棋子得到 \(y\)。

7.2 怎么证明一个函数是 SG 函数

令游戏状态集合为 \(\Omega\)，定义函数 \(f:\Omega\rightarrow\mathbb{N}\)。\(f\) 是该游戏的 SG 函数当且仅当：

\[f(x)=\text{mex}_{y\in suc(x)}\{f(y)\} \]

7.3 \([x]\) 与 \([y\in suc(x)]\) 的互异性

由 5.3.4，\([x]\) 是关于每个参数的动画函数。如果存在 \([x]=[y]\)，将 \([y]\) 带入该参数动画函数的反函数，应当得到相同的解，与 \(y\in suc(x)\) 矛盾。

所以 \(\forall y\in suc(x)\), \([x]\neq [y]\)。

7.4 证明 $ \forall 0\leq n^{\prime}<n=[x], \exist y\in suc(x), [y]=n^{\prime} $

7.4.1 与偶数变更理论建立联系

对于 \(x=\{a_1, a_2, \cdots, a_l\}\)，令 \([x]=n\)，对于 \(0\leq n^{\prime}<n\)，列出偶数变更理论记号：

\[\left[ \begin{matrix} a_1 , a_2 , a_3 , \cdots, a_l \\\\ a_1^{\prime} , a_2^{\prime} , a_3^{\prime} , \cdots , a_l^{\prime} \end{matrix} \right] =\begin{matrix} n\\\\ n^{\prime} \end{matrix} \]

我们考虑 \(a_1^{\prime}\)。首先证明其非负。如果为负数，由于 \(a_2, a_3, \cdots\) 均非负，所以 Welter 范数定义式右侧均非负，所以 \([a_1^{\prime} | a_2 | a_3 | \cdots |a_l]\) 为负，与 \(n^{\prime}\) 非负矛盾。

再考虑互异性，如果 $a_1^{\prime} $ 与 \(a_2, a_3\cdots, a_l\) 中，某个变量相同，根据 5.3.3， \([a_1^{\prime} | a_2 | a_3 | \cdots|a_l]\) 为负，与 \(n^{\prime}\) 非负矛盾。

所以 \(a_{1}^{\prime}\) 非负且与 \(a_1, a_2, \cdots, a_l\) 互异。其他下方变量也可以得到相同的结论。

换句话说，任意替换上方变量为下方某一个变量（这里不考虑 \(n\)），得到的都是一个合法的游戏状态。

我们只需要证明，对于任意 \(0\leq n^{\prime}<n\)，均存在一个替换方式，使得替换后的状态是原状态的直接后继状态，即存在 \(a_i^{\prime}<a_i\)。

我们尝试加强命题，证明下列不等式组中（后称第一类不等式组），恰好偶数个成立：

\[\begin{cases} a_i^{\prime}<a_i\\\\ n^{\prime}<n \end{cases} \]

如果得证，因为 \(n^{\prime}<n\)，所以必定存在 \(a_i^{\prime}<a_i\)，原命题得证。

7.4.2 第二类不等式组

我们将证明，对于任意整数 \(x\)，下列不等式组中恰好有偶数个成立。

\[\begin{cases} a_i\oplus a_i^{\prime}\oplus x<x\\\\ n\oplus n^{\prime}\oplus y<y \end{cases} \]

其中当 \(l\) 为偶数时，\(y=0\)，否则 \(y=x\)。

上述不等式组即为第二类不等式组。

证明：

不放设 \((a_1, a_2)\) 是配对算法中得到的第一对，那么有

\[[a_1|a_2]\oplus[a_3|a_4|\cdots]=n \]

考虑替换 \(a_3^{\prime}, a_4^{\prime},\cdots, n^{\prime}\) 中的偶数个变量，由于在配对算法中，\((a_1, a_2)\) 始终可以成为过程中合法的一个配对，所以等式仍然成立。于是得到

\[\left[ \begin{matrix} a_3 , a_4 , \cdots \\\\ a_3^{\prime} , a_4^{\prime} , \cdots \end{matrix} \right] =\begin{matrix} m\\\\ m^{\prime} \end{matrix} \]

其中 \(m=n\oplus [a|b], m^{\prime}=n^{\prime}\oplus[a|b]\)

由于 $n\oplus n^{\prime}\oplus y<y $ 和 $m\oplus m^{\prime}\oplus y<y $ 等价，归纳假设新的偶数变更理论记号满足有偶数个第一类不等式成立，我们只需证明

\[\begin{cases} a_1\oplus a_1^{\prime}\oplus x<x\\\\ a_2\oplus a_2^{\prime}\oplus y<y \end{cases} \]

有偶数个成立。

根据 5.3.1 展开可得 \([a_1^{\prime}|a_3\cdots|a_l]\oplus [a_2|a_3\cdots|a_l]=[a_1|a_3\cdots|a_l]\oplus [a_2^{\prime}|a_3\cdots|a_l]\)。由 \((a_1, a_2)\) 是第一个配对，可以推出 \(M(a_1, a_2^{\prime})=M(a_1^{\prime}, a_2)\)。

类似地，可以得到 \(M(a_1, a_2)=M(a_1^{\prime}, a_2^{\prime})\)

又有 \([a_1|a_2|a_3|\cdots|a_l]=[a_1^{\prime}|a_2^{\prime}|a_3|\cdots|a_l]=n\)，所以 \(a_1\oplus a_2=a_1^{\prime}\oplus a_2^{\prime}\)，即 \(a_1\oplus a_1^{\prime}=a_2\oplus a_2^{\prime}\)。

所以上述两个不等式等价，成立数量只能是偶数。

7.4.3 消去不变性

• \([0|a_1|a_2|\cdots|a_l]=[a_1-1|a_2-1|\cdots|a_l-1]\)

按定义展开左侧：

\[\begin{aligned} [0|a_1|a_2|\cdots|a_l]&=(\bigoplus_{i=1}^{l} a_i)\oplus(\bigoplus_{i=1}^{l} M(0, a_i))\oplus (\bigoplus_{1\leq i<j\leq l} M(a_i, a_j))\\\\ &=(\bigoplus_{i=1}^{l}(a_i\oplus M(0, a_i)))\oplus (\bigoplus_{1\leq i<j\leq l} M(a_i, a_j))\\\\ &=(\bigoplus_{i=1}^{l}(a_i-1))\oplus (\bigoplus_{1\leq i<j\leq l} M(a_i-1, a_j-1))\\\\ &=[a_1-1|a_2-1|\cdots|a_l-1] \end{aligned} \]

• 若

\[\left[ \begin{matrix} 0 , a_1 , a_2 , \cdots, a_l \\\\ x , a_1^{\prime} , a_2^{\prime} \cdots, a_l^{\prime} \end{matrix} \right] =\begin{matrix} n\\\\ n^{\prime} \end{matrix} \]

• 则

\[\left[ \begin{matrix} a_1-1 , a_2-1 , \cdots, a_l-1 \\\\ a_1^{\prime}-1 , a_2^{\prime}-1 \cdots, a_l^{\prime}-1 \end{matrix} \right] =\begin{matrix} n\\\\ n^{\prime} \end{matrix} \]

带入上述结论即证。

同时可以发现，当 \(x\geq 0\) 时，不等式 \(x<0\) 恒假。那么他们的第零类不等式组中，成立的不等式个数的是完全相同的，奇偶性也自然相同。

7.4.4 异或不变性

• \([a_1\oplus x|a_2\oplus x|\cdots|a_l\oplus x]=[a_1|a_2|\cdots|a_l]\oplus y\)

当 \(l\) 为偶数时 \(y=0\)，否则 \(y=x\)。

按定义展开左侧

\[\begin{aligned} [a_1\oplus x|a_2\oplus x|\cdots|a_l\oplus x]&=(\bigoplus_{i=1}^{l} (a_i\oplus x))\oplus (\bigoplus_{1\leq i<j\leq l} M(a_i\oplus x, a_j\oplus x))\\\\ &=(\bigoplus_{i=1}^{l} a_i)\oplus(\bigoplus_{i=1}^{l} x) \oplus(\bigoplus_{1\leq i<j\leq l} M(a_i, a_j))\\\\ &=[a_1|a_2|\cdots|a_l]\oplus y \end{aligned} \]

类似 7.4.3，我们能得到

• 若

\[\left[ \begin{matrix} a_1 , a_2 , \cdots ,a_l\\\\ a_1^{\prime} , a_2^{\prime} \cdots, a_l^{\prime} \end{matrix} \right] =\begin{matrix} n\\\\ n^{\prime} \end{matrix} \]

• 则

\[\left[ \begin{matrix} a_1\oplus x , a_2\oplus x , \cdots, a_l\oplus x \\\\ a_1^{\prime}\oplus x , a_2^{\prime}\oplus x \cdots , a_l^{\prime}\oplus x \end{matrix} \right] =\begin{matrix} n\oplus y\\\\ n^{\prime}\oplus y \end{matrix} \]

下面证明他们的第一类不等式组中成立的不等式数量奇偶性相同。

• 引理：若 \(a_1\oplus a_2\oplus \cdots\oplus a_l=s\)，则对于任意 \(t\)， \(a_1\oplus t<a_1, a_2\oplus t<a_2, \cdots, a_l\oplus t<a_l, s\oplus t<s\) 中恰有偶数个成立。

• 证明：\(t=0\) 显然，否则找到 \(t\) 的最高位，设为第 \(k\) 位，则 \(x\oplus t<x\) 当且仅当 \(x\) 的第 \(k\) 位为 1。上述变量中恰好有偶数个变量的第 \(k\) 位为 1。

设 \(a_1^{\prime}=a\oplus t\)，则 \(a_1\oplus t<a_1, x\oplus t<x, a_1\oplus x\oplus t<a_1\oplus x\) 中恰好有偶数个成立。即 \(a_1^{\prime}<a_1, a_1\oplus a_1^{\prime}\oplus x<x, a_1^{\prime}\oplus x<a_1\oplus x\) 中恰好有偶数个成立。对 \(a_2, a_3,\cdots, a_l, n\) 也是如此。

中间的不等式就是第二类不等式组中的不等式。而我们知道，第二类不等式组中，恰好有偶数个不等式成立。

所以不等式组

\[\begin{cases} a_i^{\prime}< a_i\\\\ n^{\prime}< n \end{cases} \]

和不等式组

\[\begin{cases} a_i^{\prime}\oplus x< a_i\oplus x\\\\ n^{\prime}\oplus y< n\oplus y \end{cases} \]

中，成立的不等式的数量的奇偶性相同。

7.4.5 归纳

从最初的偶数变更理论记号开始，进行以下过程：

• 利用异或不变性，选择 \(x=a_1\)，使得第一个变量变为 0，第一类不等式组中成立的不等式数量的奇偶性不变；

• 利用消去不变性，删去第一个变量，第一类不等式组中成立的不等式数量的奇偶性不变；

• 重复上述两个步骤，直到只剩两个变量。

此时第一类不等式组中显然只有偶数个成立。

原命题得证。

最终我们证明了，游戏状态动画函数的 Welter 范数就是 Welter's Game 的 SG 函数。