拟阵学习笔记

0.前言

笔者个人认为拟阵是建立在集合论上的强大代数工具，可以解决许多常规算法无从下手的最优化问题。

本文是对多篇拟阵入门的相关文章的整理，在文末给出了引用。

现有拟阵入门相关文章中多存在一些笔误，使得读者学习时存在误解。本文尽可能做到了符号统一和逻辑无误，旨在让笔者本人能够理解拟阵的基本内容，并希望为后人提供些许帮助。

内容仅作个人学习笔记用。有部分结论限于笔者能力无法给出详尽证明。

如有错误，请及时指正，笔者感激不尽。

1.定义

Def 1.1 遗传系统

一个 遗传族 (Hereditary Family) 是由若干集合组成的集族 \(\mathbf{F}\)，满足 \(F\) 中任意集合的子集也属于 \(F\). 即 \(\forall f^{\prime}\subseteq f\in \mathbf{F}, f^{\prime}\in \mathbf{F}\).

一个 遗传系统 (Hereditary System) \(M\) 是定义在一个集合 \(E\) 上的，其包含由 \(E\) 的一些子集组成的 非空遗传族 \(\mathbf{I}_{M}\) 和构造该遗传族的构造方法，这些构造方法称为 \(M\) 的要素。

\(\mathbf{I}_{M}\) 的元素称为 \(M\) 的 独立集 (Independent Set). \(E\) 的其他子集都是 非独立的 (Dependent)，构成集族 \(\mathbf{D}_{M}\)。

\(M\) 的极大独立集构成集族 \(\mathbf{B}_{M}\)，称为 \(M\) 的 基 (Base). \(M\) 的极小非独立集构成集族 \(\mathbf{C}_{M}\)，称为 \(M\) 的 回路 (Circuit).

在 \(E\) 上定义秩函数 \(r_{M}(X)=\max \{ |Y|: Y\subseteq X, Y\in \mathbf{I}_{M}\}\)，即 \(X\) 的独立子集的大小的最大值。

圈 (Circuit) 指的是一个元素，它构成大小为 \(1\) 的回路。

并行元素 (Parallel Elements) 指的是两个不同的元素，它们构成形成大小为 \(2\) 的回路。

一个遗传系统是 简单的 (Simple)，如果它没有圈和并行元素。

Pro. 1.2 遗传系统的基本性质

• \(\mathbf{B}\subseteq \mathbf{I}, \mathbf{C}\subseteq \mathbf{D}\).

• \(\mathbf{I} \cup \mathbf {D}=\emptyset\).

• \(\mathbf{I} \cap \mathbf {D}=\mathbf{F}_{E}\).

• \(\emptyset \in \mathbf{I}\).

• \(\forall X\subseteq E, r_{M}(X)\leq |X|\)，等号成立当且仅当 \(X\in \mathbf{I}\).

• 只需要知道 \(\mathbf{I}, \mathbf{D}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, r\) 中任意一个，就可以得到的 \(M\)。

Def. 1.3 基可交换性

对于遗传系统 \(M\)，弱基可交换性 (Weak Basis Exchange Property) 指的是：

\[\text{任取 }B_1, B_2\in \mathbf{B}_{M}, \text{对于任意 } e\in B_1-B_2, \text{均存在 } f\in B_2-B_1 \text{使得 } B_1-e+f\in \mathbf{B}_{M} \]

简单来说，挑出两个独立集，对于第一个独立集的每个元素，如果不在第二个独立集中，则存在一种交换对方所没有的元素的方式，使得交换后第一个集合还是独立集。

对于遗传系统 \(M\)，强基可交换性 (Strong Basis Exchange Property) 指的是：

\[\text{任取 }B_1, B_2\in \mathbf{B}_{M}, \text{对于任意 } e\in B_1-B_2, \text{均存在 } f\in B_2-B_1 \text{使得 } B_1-e+f, B_2-f+e\in \mathbf{B}_{M} \]

提到基可交换性一般指强基可交换性。

基可交换性表明所有的基均有相同的大小：如果 \(|B_1|<|B_2|\)，则可以不断交换得到一个 \(B_2\) 的一个大小为 \(|B_1|\) 的基，这与基的定义 (极大) 矛盾。

Def. 1.4 吸收性

对于 \(E\) 上的一个遗传系统，弱吸收性 (Weak Absorption Property) 是指：

\[\text{任取 } X\subseteq E, e, f\in E, \text{则 } r(X)=r(X+e)=r(X+f) \text{ 蕴含 } r(X+e+f)=r(X) \]

对于 \(E\) 上的一个遗传系统，强吸收性 (Strong Absorption Property) 是指：

\[\text{任取 } X, Y\subseteq E \text{ 且 } r(X)=r(X+e) \text{ 对任意 } e\in Y \text{成立，则} r(X\cup Y)=r(X) \]

弱吸收性可以推导出强吸收性，推导过程略。

Def. 1.5 消除性

对于 \(E\) 上的一个遗传系统，弱消除性 (Weak Elimination Property) 是指：

\[\text{任取两个不同的回路 } C_1, C_2, x \in C_{1}\cap C_{2}, \text{必定存在 }C_{0}\in \mathbf{C}_{M} \text{使得} C_{0}\subseteq C_{1}\cup C_{2}-x \]

对于 \(E\) 上的一个遗传系统，强消除性 (Strong Elimination Property) 是指：

\[\text{任取两个不同的回路 } C_1, C_2, x \in C_{1}\cap C_{2}, \text{则 } \forall y\in C_{1}\triangle C_{2}, y\in C_{1}\cup C_{2}-x \]

弱消除性可以推导出强消除性，推导过程略。

Def. 1.6 扩展性

对于 \(E\) 上的一个遗传系统，扩展性 (Extension Property) 是指：

\[\text{对于不同的 } I_1, I_2\in \mathbf{I} \text{ 且 } |I_2|>|I_1|, \text{存在 } e\in I_2-I_1 \text{ 使得 } I_1+e\in \mathbf{I} \]

Def. 1.7 贪心算法

贪心算法 (Greedy Algorithm) 是如下的循环过程：找出一个具有最大非负权值的元素，使得将它加入已经选出的独立集之后便会得到一个更大的独立集。然后再将它加入已经选出的独立集中。直到无法挑出满足条件的元素时停止。

Def. 1.8 拟阵

\(E\) 上的一个遗传系统是拟阵，如果它满足下列条件其中之一。

• \((B)\) 基可交换性。

• \((A/A^{\prime})\) 吸收性。

• \((C/C^{\prime})\) 消除性。

• \((I)\) 扩展性。

• \((U)\) 一致性：对于任意 \(X\subseteq E\)，属于 \(\mathbf{I}\) 的 \(X\) 的极大子集均有相同的大小。

• \((R)\) 子模性: 对于 \(X, Y\subseteq E\), \(r(X\cap Y)+r(X\cup Y)\leq r(X)+r(Y)\)

• \((J)\) 诱导回路：如果 \(I\in \mathbf{I}\)，则 \(I+e\) 最多包含一个回路。

• \((G)\) 贪心算法。

可以证明这些条件之间是互相等价的。证明比较繁琐，略。

证明一个遗传系统是拟阵，通常证明其扩展性。

Exp. 1.9 环拟阵

图 \(G\) 的一个 环拟阵 (Cycle Matroid) \(M(G)\) 是 \(E(G)\) 上的一个遗传系统，其回路是 \(G\) 中的环。

反过来，如果一个遗传系统是某个图的环拟阵，则称之为 可图解拟阵 (Graphic Matroid)。

环拟阵 \(M(G)\) 的基是 \(G\) 中极大森林 (即极大无环图) 的边集。基中所有集合大小相等。

环拟阵不一定是简单的。

环拟阵满足基可交换性：选出两个极大森林，将第一个的某个连通块分裂，一定能在第二个的相应连通块中找一条边把分裂的两块合并。

环拟阵满足弱吸收性：令 \(G_{X}\) 表示边集为 \(X\) 的 \(G\) 的导出子图。如果 \(e\in E-X\) 对 \(r(X+e)=r(X)\) 成立，则 \(e\) 的定点位于 \(G_{X}\) 的某个连通分量中，任意两个连通分量无法由添加 \(e\) 合并。增加两条这样的边亦是如此。所以 \(r(X)=r(X+e)=r(X+f)\) 蕴含 \(r(X+e+f)=r(X)\)。

环拟阵满足弱消除性：如果两个环有交，把两个环的并删掉交的某条边后，这个集合的导出子图一定有环。

环拟阵满足扩展性：令 \(G_{X}\) 表示边集为 \(X\) 的 \(G\) 的导出子图。对于 \(|I_2|>|I_1|\), \(G_{I_1}\) 中有 \(k_1=n-|I_1|\) 个连通分量。而 \(G_{I_2}\) 有 \(k_2=n-|I_2|<k_1\) 个连通分量。因此总能从 \(G_{I_2}\) 中挑一个边使得它的两端点在 \(G_{I_1}\) 中属于不同的连通块。

Exp. 1.10 向量拟阵

向量空间中，向量集合 \(E\) 的 向量拟阵 (Vector Matroid) 是一个遗传系统，其独立集是 \(E\) 中线性无关的向量集。

可以用上述方法表达的拟阵称为 线性拟阵 (Linear Matroid) 或 可表达拟阵 (Representable Matroid)。

矩阵 \(A\) 的 列拟阵 (Column Matroid) \(M(A)\) 是定义在其所有列向量上的向量矩阵。

向量拟阵的回路是满足 \(\sum_{i=1}^{k} c_{i}\vec{x}_{i}=\vec{0}\) 的极小集合 \(\{ \vec{x}_1, \vec{x}_2, \cdots, \vec{x}_k\}\subseteq E\)，其中 \(c_i\) 不全为 0。

向量拟阵的秩函数显然就是向量组成的矩阵的秩函数。

向量拟阵不一定是简单的。

向量拟阵满足基可交换性：选出两个向量空间 \(E\) 的线性基 \(B_1, B_2\)，对于任意向量 \(v\in E\) 存在 \(c\) 使得 \(v=B_1 c\)。对于 \(x\in B_1-B_2, y\in B_2-B_1\)，显然存在 \(c_0\) 使得 \(y=B_1c_0\)，且 \(c_0[x]\neq 0\) (否则说明 \(x\) 不能被 \(B_2\) 线性组合，与 \(B_2\) 极大矛盾)。 则 \(y=(B_1-x)(c_0-c_0[x])+c_{0}[x]x\)。因此 \(B_1-x+y\) 仍然是线性无关。并且对于任意一个向量 \(v\in E-(B_1-x+y)\) ，如果 \(v=B_1 c\)，则 \(v=\left(1-\frac{c[x]}{c_{0}[x]}\right)(B_1-x)(c-c[x])+\frac{c[x]}{c_{0}[x]}y\)。所以交换后仍然是线性基。

向量拟阵满足弱吸收性：如果 \(e\in E-X\) 对 \(r(X+e)=r(X)\) 成立，则 \(e\) 可以被 \(X\) 中的元素线性表达，增加 \(e\) 不会让矩阵的秩增加。增加两条这样的元素亦是如此。所以 \(r(X)=r(X+e)=r(X+f)\) 蕴含 \(r(X+e+f)=r(X)\)。

向量拟阵满足弱消除性：令 \(C_1, C_2\) 是包含 \(x\) 的两个不同回路。则可以把 \(x\) 分别写作 \(C_1-X\) 和 \(C_2-X\) 中向量的线性组合。把两个表达式用等号连接，可以看到 \(C_1\cup C_2-x\) 对 \(x\) 的非独立性。因此， \(C_1\cup C_2-x\) 中含有回路。

向量拟阵满足扩展性：从矩阵的角度考虑，\(I_1\) 含有 \(|I_1|\) 个主元，\(I_2\) 含有 \(|I_2|>|I_1|\) 个主元，总能从 \(I_2\) 中挑一个 \(I_1\) 不含有的主元。

2.生成函数

Def. 2.1 生成函数

遗传系统 \(M\) 的 生成函数 (Generating Function) 是定义在 \(E\) 的子集族上的函数 \(\sigma_{M}\)，其定义为

\[\sigma_{M}(X)=X\cup \{ e\in E: \exists Y\subseteq X \text{ 使得 } Y+e\in \mathbf{C}_{M}\} \]

如果 \(e\in \sigma_{M}(X)\)，则称 \(X\) 生成 \(e\)。

Pro. 2.2 生成函数的性质

• \(\mathbf{I}=\{X\subseteq E: (e\in X)\rightarrow (e\notin \sigma(X-e))\}\)

• \((s1)\) \(X\subseteq \sigma(X)\) (自生成性)

• \((s2)\) \(Y\subseteq X\) 蕴含 \(\sigma(Y)\subseteq \sigma(X)\) (保序性)

• \((s3)\) \(e\notin \sigma(X)\) 和 \(\sigma \in \sigma(X+f)\) 蕴含 \(f\in \sigma(X+e)\) (Steinitz 交换性)

• \([r(X+e)=r(X)]\Rightarrow e\in \sigma(X)\)

证明略。

Def. 2.3 拟阵

\(E\) 上的一个遗传系统是拟阵，如果它满足下列条件其中之一。

• \((P)\) 结合性：对任意 \(X\subseteq E, r(\sigma(X))=r(X)\)。

• \((S)\) 幂等性：对任意 \(X\subseteq E, \sigma(\sigma(X))=\sigma(X)\)。

• \((P)\) 依赖传递性：如果 \(e\in \sigma(X)\) 且 \(X\subseteq \sigma(Y)\)，则 \(e\in \sigma (Y)\)。

可以证明这些条件之间是互相等价的。证明比较繁琐，略。

Def. 2.4 生成集合

对于 \(E\) 上的遗传系统，其 生成集合 (Spanning Set) 是满足 \(X\subseteq E\) 和 \(\sigma(X)=E\) 的集合 \(X\)。闭集 (Closed Set) 是满足 \(X\subseteq E\) 和 \(\sigma(X)=X\) 的集合。超平面 (Hyperplane) 指的是 \(E\) 中的极大真闭子集。

3.拟阵的对偶性

Def. 3.1 对偶

对于 \(E\) 上的遗传系统 \(M\)，其 对偶 (Dual) 是一个遗传系统 \(M^{*}\)，它的基是 \(M\) 的基的补集。\(M^{*}\) 中 \(\mathbf{B}^{*}, \mathbf{C}^{*}, \mathbf{I}^{*}, r^{*}, \sigma^{*}\) 这些要素分别是 \(M\) 的余基、余回路等。

\(M\) 的超基 \(\mathbb{S}\) 是包含某个基的任何集合，亚基 \(\mathbf{H}\) 是不包含任何基的任何极大子集。

记 \(\overline{X}=E-X\)。

• \(B^{*}=\{\overline{B}: B\in \mathbf{B}\}\)

• \(I^{*}=\{\overline{S}: S\in \mathbf{S}\}\)

• \(S^{*}=\{\overline{I}: I\in \mathbf{I}\}\)

• \(C^{*}=\{\overline{H}: H\in \mathbf{H}\}\)

• \(H^{*}=\{\overline{C}: C\in \mathbf{C}\}\)

Pro. 3.2 拟阵的对偶

对于 \(E\) 上拟阵 \(M\)，其对偶是秩函数为 \(r^{*}(X)=|X|-(r(E)-r(\overline{X}))\) 的拟阵.

Coro. 5.2.1 推论

• 如果 \(M\) 是一个拟阵，则其超基是生成集合，亚基是超平面。

• 拟阵的余回路是与所有基均相交的极小集合。基是与所有余回路均相交的极小集合。

Coro. 5.2.2 对偶扩展性

令 \(M\) 是一个拟阵。如果 \(X\in \mathbf{I}\) 和 \(X^{\prime}\in \mathbf{I}^{*}\) 不相交，则存在不相交的 \(B\in \mathbf{B}\) 和 \(B^{\prime} \in \mathbf{B}^{*}\) 使得 \(X\subseteq B\) 和 \(X^{\prime} \subseteq B^{\prime}\)。

Coro. 5.2.3 常见拟阵的对偶

环拟阵的对偶拟阵为割拟阵，即独立集为非割集的拟阵。

列向量拟阵的对偶拟阵为行向量拟阵。

4.拟阵的交和并

Def. 4.1 遗传系统的交

给定 \(E\) 上的遗传系统 \(M_1, M_2\)，他们的交是独立集族为 \(\{X\subseteq E: X\in \mathbf{I}_{1}\cap \mathbf{I}_{2}\}\) 的遗传系统。

Pro. 4.2 拟阵交定理

给定 \(E\) 上的拟阵 \(M_1, M_2\)，最大公共独立集的大小满足：

\[\max\{|I|: I\in \mathbf{I}_{1}\cap \mathbf{I}_{2}\}=\min_{X\subseteq E}\{r_{1}(X)+r_{2}(\overline{X})\} \]

Pro. 4.3 拟阵交算法

Pro. 4.3.1 交换图

对于独立集 \(X\)， 定义交换图 \(G(X)\) 是一个二分图。如果 \(x\in X, y\in \overline{X}, X-x+y\in \mathbf{I}\)，则 \((x, y)\in E(G(X))\)

对于 \(I\in \mathbf{I_1}\cap \mathbf{I_2}\)，定义交换图 \(G_{M_1, M_2}(I)\) 是一个有向二分图，左部为 \(I\)，右部为 \(\overline{I}\)。边 \(y\rightarrow x\) 在图中当且仅当 \(I-y+x\in \mathbf{I_1}\)，边 \(x\rightarrow y\) 在图中当且仅当 \(I-y+x\in \mathbf{I_2}\)。

Pro. 4.3.2 交换图的完美匹配

对于两个独立集 \(X, Y\)，满足 \(|X|=|Y|\)，则在 \(G_{X}\) 中存在 \(X-Y\) 和 \(Y-X\) 之间的完美匹配。

证明：

令拟阵 \(M^{\prime}: \mathbf{I}^{\prime}=\{I^{\prime} \in \mathbf{I}, |I^{\prime}|\leq |X|\}\)。显然这是一个拟阵，且 \(X, Y\) 都是 \(M^{\prime}\) 的基。

根据强基可交换性，对于任意 \(y\in Y-X\)，存在 \(x\in X-Y\) 使得 $X-x+y $ 和 \(Y-y+x\) 仍是 \(M^{\prime}\) 的基。

若两者只有一个差异，则一定存在一个边连接相异元素。否则取 \((x, y)\) 为一个匹配，\(Y\leftarrow Y-y+x\)，归纳证明。

Pro. 4.3.3 唯一匹配

对于独立集 \(X\) 和集合 \(Y\)，满足 \(|X|=|Y|\)，如果在 \(G_{X}\) 中存在 \(X-Y\) 和 \(Y-X\) 之间的唯一完美匹配，则 \(Y\in \mathbf{I}\)。

证明：

把边重定向。在匹配中的边，方向为从 \(\overline{X}\) 到 \(X\)，否则方向为从 \(X\) 到 \(\overline{X}\)。

因为匹配唯一，所以不存在环，即图为 DAG。

将点重标号，使得边从小标号指向大标号。

令唯一的匹配的有序集为 \(N=\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_k, y_k)\}\)。为了方便下面的讨论，我们将 \(N\) 合理排序，使得对于 \(i<j\)，不存在 \((x_i, y_j)\) 的边。不难发现一定存在这样的 \(N\)。

假设 \(Y\) 不是独立集，则 \(Y\) 中存在回路 \(C\)，\(C\) 一定不是 \(X\cap Y\) 的子集。

取最小的 \(i\) 满足 \(y_i\in C\)。则对于所有 \(y\in C-y_i\)，不存在边 \((x_i, y)\)。

于是 \(C-y_i\subseteq \sigma (X-x_i)\)。

所以 \(\sigma(C-y_i)=\sigma^{2}(X-x_i)=\sigma(X-x_i)\)。

因为 \(C\) 是回路，所以 \(y_i\in \sigma(C-y_i)\)，所以 \(y_i\in \sigma(X-x_i)\)，这与边 \((x_i, y_i)\) 存在相矛盾。

于是 \(Y\) 不存在回路，即 \(Y\) 是独立集。

Pro. 4.3.4 交换图的增广路

定义 \(X_{1}=\{ x\notin I| I+x\in \mathbf{I}_{1}\}\)，\(X_{2}=\{ x\notin I| I+x\in \mathbf{I}_{2}\}\)。

我们称一条增广路 \(P\) 为从 \(X_{1}\) 出发到 \(X_{2}\) 的交换图上的有向路径，满足不存在某条边能缩短这条路径。即，最短有向路径。

Alg. 4.3.5 算法流程

输入：\(E\) 相同的两个拟阵 \(M_1, M_2\)。

输出：拟阵交的最大独立集。

初始化拟阵交的独立集为 \(I=\emptyset\)。

重复执行以下操作：

• 找出 \(X_1, X_2\)。

• 建出交换图。

• 寻找增广路 \(P\)。

• 如果 \(P\) 为空，则退出。

• 否则更新 \(I\leftarrow I\triangle P\)。

算法正确性在下文证明。

Pro. 4.3.6 最小最大定理 (Edmonds-Lawler theorem)

当上述算法停止时，记集合 \(U\) 表示交换图中可以到达 \(X_2\) 的元素的集合，则

\[|I|=r_1(U)+r_2(\overline{U}) \]

等价的说法是：

\[\max_{I\in \mathbf{I}_1\cap \mathbf{I}_2}|I|=\min_{U\in E} r_1(U)+r_2(\overline{U}) \]

证明：

显然 \(r_1(U)\geq |I\cap U|\)。

如果 \(r_1(U)>|I\cap U|\)，则存在元素 \(x\in U-I\)，使得 \((I\cap U)+x\in \mathbf{I}_1\)。因为不存在从 \(X_1\) 到 \(X_2\) 的路径，所以 \(x\notin X_1\)。于是只能是存在 \(y\in I-U\) 使得 \(I-y+x\in \mathbf{I_1}\)，这说明 \(y\) 可达 \(X_2\)，即 \(y\in U\)，产生矛盾。

于是 \(r_1(U)=|I\cap U|\)。

同理可得 \(r_2(\overline{U})\geq |I\cap \overline{U}|\)。

所以 \(r_1(U)+r_2(\overline{U})=|I\cap U|+|I\cap \overline{U}|=|I|\)

Pro. 4.3.7 独立性检验

令增广路 \(P=(y_0, x_1, y_1, \cdots, x_k, y_k)\)。令 \(J=I\triangle \{x_1, y_1, \cdots, x_k, y_k\}\)。显然有 \(|J|=|I|\)，且 \(I-J\) 和 \(J-I\) 有唯一完美匹配。

根据 4.3.3，\(J\) 是 \(M_1\) 的独立集。

由增广路的定义，\(y_1, y_2, \cdots, y_k\) 都不是 \(X_1\) 中的元素，所以 \(r_1(I\cup J)=r_1(I)=r_1(J)\)。 若 \(I+y_0\) 在 \(M_1\) 中存在回路 \(C\)，则可以用 \(x_0\) 把某些对 \((x_i, y_i)\) 替换掉 (即不进行交换)，满足仍然是独立集，与增广路的定义相矛盾。于是 \(J+x\in \mathbf{I}_1\)

由对称性 (交换 \(M_1, M_2\)，同时对称交换图上的所有东西)，可以证明 \(J^{\prime}+y_k\in \mathbf{I_2}\)。其中 \(J^{\prime}=I\triangle \{y_0, x_1, \cdots, y_{k-1}, x_k\}\)。

于是 \(I\triangle P\) 是拟阵交的独立集。

Pro. 4.3.8 拟阵带权交

元素拥有权值 \(\omega(\cdot)\)。

将上述算法引入点权：

\[f(x)= \begin{cases} \omega(x), & x\in I\\\\ -\omega(x), & x\in \overline{I} \end{cases} \]

增广路的长度从点数变为 \(\langle 点权和， 点数\rangle\)。

进行上述算法即可。

其证明由扩展的最大最小定理给出：

\[\max_{I\in \mathbf{I}_1\cap \mathbf{I}_2}\sum_{e\in I}\omega(e)=\min_{\omega_1, \omega_2:\forall x, \omega_1(x)+\omega_2(x)=\omega(x)} (\max_{I\in \mathbf{I}_1}\omega_1(I))+(\max_{I\in \mathbf{I}_2}\omega_2(I)) \]

证明较难。

Pro. 4.3.9 多个拟阵的交

规约哈密顿回路求解，NP-Hard。

Def. 4.4 拟阵并

用到的场景相比拟阵交要少，所以很多结论略去了证明。

我们有 \(k\) 个拟阵 \(M_{i}\)。

定义他们的并为满足 \(E=\bigcup_{i=1}^{k} E_{i}, \mathbf{I}=\{ \bigcup_{i=1}^{k} I_{i}| I_{i}\in \mathbf{I}_{i}\}\) 的拟阵。

可以证明拟阵的并仍然是拟阵。

拟阵的并的秩函数为

\[r(X)=\min_{Y\subseteq X}\left[|X-Y|+\sum_{i=1}^{k}r_{i}(Y\cap E_{i}) \right] \]

证明较难。

Pro. 4.5 拟阵基覆盖

考虑 \(k\) 个一样的拟阵的并，其秩函数为

\[r^{k}(X)=\min_{Y\subseteq X}[|X-Y|+k\cdot r(Y)] \]

一个拟阵能被 \(k\) 个基覆盖，当且仅当 \(\forall X\subseteq E, |X|\leq k\cdot r(X)\)。等价于 \(r^{k}(X)=|X|\)

证明较难。

Coro. 4.5.0 拟阵覆盖定理 (Edmonds)

在 \(E\) 上的无环拟阵 \(M\) 中，并为 \(E\) 的独立集的最小个数为 \(\max_{X\subseteq E}\left\lceil\frac{|X|}{r(X)}\right\rceil\)

Coro. 4.5.1 Nash-Williams 定理

一个图 \(G\) 能被 \(k\) 个生成树覆盖，当且仅当 \(\forall X\subseteq V, |E(X)|\leq k(|X|-1)\)。

在算法上，可以通过网络流求最大密度子图判断。

Coro. 4.5.2 图的荫度

图 \(G\) 的荫度 \(\text{Forest}(G)\) 定义为覆盖图 \(G\) 的所有边所需森林的最小个数。

\[\text{Forest}(G)=\max_{X\subseteq V}\left\lceil\frac{e(X)}{|X|-1}\right\rceil \]

Pro. 4.6 拟阵基填充

一个拟阵含有 \(k\) 个不交的基，当且仅当 \(\forall X\in E, |E-X|\geq k(r(E)-r(X))\)。等价于 \(r^{k}(X)=k\cdot r(X)\)

Coro. 4.6.0 拟阵填充定理 (Edmonds)

给定 \(E\) 上的一个拟阵 \(M\)，两两互不相交的基的最大个数等于

\[\min_{X:r(X)<r(E)}\left\lfloor\frac{|\overline{X}|}{r(E)-r(X)}\right\rfloor \]

Coro. 4.6.1 Tutte 定理

定义 \(\delta(V_1, V_2, \cdots, V_p)=\{ (u, v)\in E| u\in V_{i}, v\in V_{j}, i\neq j\}\)。(即跨过连通块的原图的边。)

一个图 \(G\) 包含 \(k\) 个边不交的生成树，当且仅当对于所有对点集 \(V\) 的划分，\(|\delta(V_1, V_2, \cdots, V_p)|\geq k(p-1)\)。

5. Shannon 开关游戏

一般情况的 Shannon 开关游戏较复杂，笔者能力有限，这里仅介绍环拟阵上的简单情况。

Def. 5.1 环拟阵上的 Shannon 开关游戏

A 和 B 在图 \(G=(V,E)\) 上博弈，A 先手删一条边，B 后手固定一条边。在删除或固定所有边后，若图仍连通，则 B 获胜，反之 A 获胜。确定 A 和 B 是否有必胜策略。

结论：B 有必胜策略当且仅当 \(G\) 有两个边集不交的极大生成树。

证明：

存在这样的两个生成树是，B 的必胜策略是显然的。

如果不存在，根据 Tutte 定理，存在某个划分使得 \(|\delta(V_1, V_2, \cdots, V_p)|< 2(p-1)\)。为了割开这 \(p\) 个点集，A 总能选出 \(p-1\) 条边，使得 B 无论如何也不能用 \(p-2\) 条边将点集连通。

Pro. 5.1.1 求解

求环拟阵和割拟阵的交即可，其含义为该点集连通且非割。

存在利用网路流的复杂度更低的解法。

6.习题

Exe. 6.1 图解拟阵与二元拟阵

证明可图解拟阵都是二元拟阵。

hint

行号为点，列号为边，元素值为行号和列号是否在图上关联。

线性相关集一定可以导出一个环。线性无关集则无环。

Exe. 6.2 [UVA 12370] Game of Connect

link

hint

与 Shannon 开关游戏本质相同。

Exe. 6.3 Petrozavodsk Winter 2019. Day 4. Yandex Cup D Pick Your Own Nim

link

hint

线性拟阵和颜色拟阵求交。

Exe. 6.4 North American Invitational Programming Contest 2018 G Rainbow Graph

link

hint

正难则反。考虑对偶拟阵，即割拟阵。

转化为求 BG 导出的割拟阵和 RG 导出的割拟阵的带权拟阵交。

Exe. 6.5 [CF1156H] DIY Tree

link

hint

枚举两端点都小于等于 \(m\) 的边，转化为颜色拟阵和环拟阵求交

7.参考资料

Matroid [英文维基百科]

Introduction to Graph Theory, 8.2, Douglas B. West 2001

《浅谈拟阵的一些拓展及其应用》 杨乾澜 2018

从拟阵基础到 Shannon 开关游戏 [洛谷日报 zghtyarecrenj]

Shannon's Switching Game [知乎 Guanghao Ye]