组合数学学习笔记-第三章

3.3 Ramsey 定理

引入

\(K_6\rightarrow K_3,K_3\)

即对 \(K_6\) 进行01边染色后，一定能找到由0边组成的 \(K_3\) 或由1边组成的 \(K_3\)。

证明

把 \(K_6\) 的边随机赋成0/1，考虑某个点 \(p\) 的出边，至少三个边是0（或1）。

考虑至少三个边是0的情况，设其中三条边连向 \(a,b,c\) 三个点。

如果这三个点之间的边都是1，那么就找到了一个由1边组成的 \(K_3\)。

否则至少一个边是0，加上 \(p\) 就找到了一个由0边组成的 \(K_3\)。

证毕。

定理1

\(\forall n,m\geq 2,\exists p,K_p\rightarrow K_n,K_m\)

翻译一下就是对 \(K_p\) 进行01边染色后一定能找到由0边组成的 \(K_n\) 或由1边组成的 \(K_m\)。

我们称最小的 \(p\) 为 \((n,m)\) 的 Ramsey 数，记作 \(r(n,m)\)。

引理1

\(r(n,m)=r(m,n)\)

引理1证明

把所有染色方案对调两种颜色，显然成立。

引理2

\(r(2,n)=n\)（特别的，称这样的数为平凡的 Ramsey 数）

引理2证明

先证 \(r(2,n)\leq n\)：对于 \(K_n\)，进行01边染色后，如果都为1边，那么可以找到1边 \(K_n\)，否则存在一条0边，那么可以找到0边 \(K_2\)。

再证 \(r(2,n)\geq n\)：对于 \(K_{n-1}\)，把所有边染成1，1边 \(K_n\) 和0边 \(K_2\) 都不存在。更小的完全图更不能满足。

综上，\(r(2,n)=n\)

定理1证明

使用归纳法证明。

上述讨论中我们得知 \(r(2,n)\) 是确定的，也不难得到 \(r(3,3)=6\)，考虑能否得到 \(r(3,n)\) 的确界，最好是上确界。

对于 \(r(3,4)\)，我们需要找到0边 \(K_3\) 或1边 \(K_4\)，那最简单的想法就是我干脆借助 \(r(3,3)\) 和 \(r(2,4)\) 进行一些拼接，而这两个数是已知的。

考虑 \(K_p\)，其中 \(p=r(3,3)+r(2,4)\)。最好的情况是刚好把 \(K_p\) 分裂出 \(K_{r(3,3)}\) 和 \(K_{r(2,4)}\) 后，0边 \(K_3\) 和1边 \(K_4\) 至少找到了一个。

所以最不幸的情况是只能分别找到1边 \(K_3\) 和0边 \(K_2\)，这时就需要回到全局观察团的性质。

考虑某个点 \(x\) 的出边，记通过0边连接到的点集为 \(f_0\)，1边连接到的点集为 \(f_1\)，有 \(|f_0|+|f_1|=p-1=r(3,3)+r(2,4)-1\)

那么有 \(|f_0|\geq r(2,4)\or |f_1|\geq r(3,3)\)，否则 \(|f_0|+|f_1|\leq r(2,4)-1+r(3,3)-1=r(2,4)+r(3,3)-2\)，与上述条件矛盾。（这一步就是对强鸽巢原理的应用）

如果满足前者，那么在 \(f_0\) 中一定存在 \(K_{r(2,4)}\)，要么能找到1边 \(K_4\)，要么能找到0边 \(K_2\)，加上点 \(x\) 就组成了0边 \(K_3\)。对于后者同理。

所以我们就得到了 \(r(3,4)\) 的上确界：\(r(3,4)\leq r(3,3)+r(2,4)\)

那么进行更一般的归纳，假设存在 \(r(n-1,m)\) 和 \(r(n, m-1)\) 的上确界，试着归纳 \(r(n,m)\) 的上确界。

令 \(p=r(n-1,m)+r(n,m-1)\) ，考虑 \(K_p\) 中的某个点 \(x\)，0边和1边点集分别为 \(f_0\) 和 \(f_1\)，有 \(f_0+f_1=p-1=r(n-1,m)+r(n,m-1)-1\)

同样可以通过矛盾得到 \(|f_0|\geq r(n-1,m)\or |f_1|\geq r(n,m-1)\)。

如果满足前者，那么在 \(f_0\) 中一定存在 \(K_{r(n-1,m)}\)，要么能找到1边 \(K_m\)，要么能找到0边 \(K_{n-1}\)，加上点 \(x\) 就组成了0边 \(K_{n}\)。对于后者同理。

综上，可以归纳出 \(r(n,m)\) 的上确界：\(r(n,m)\leq r(n-1,m)+r(n,m-1)\)

证毕。

拓展

这个上确界的形式类似组合数递推式（\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m\)）。

恰好 \(r(2,n)=n=C_{n+2-2}^{2-1}\)，不妨设 \(f(n,m)=C_{n+m-2}^{n-1}\)，那么可以得到 \(f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m-1)(n,m\geq 3)\)

对比递推式可以得到 \(r(n,m)\leq f(n,m)=C_{n+m-2}^{n-1}\)

(不小心点到发布了，待更……)