2023.7.3 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:10~9:10

T1：数据范围非常小的最优化问题，限制很多可能是网络流。

T2：题意非常奇怪的最优化问题，而且运算过程还是实数，一眼看上去不会写暴力。

T3：只会暴力的数据结构，也许能树分块拿个根号的分？

先推T1，k=1 是简单枚举（埋下伏笔），k=2 可以在枚举 k=1 的基础上做一个规划，每个点可以选择往左或者往上，要求方向相同的必须形成连续段，最大化能被选中的点的点权和。

一开始觉得是网络流，但是一个点二选一加上前缀必须连续选择这些限制很难处理。

推了一会觉得是不是能直接DP，设 \(f_{l,r}\) 表示左侧自由空间是 \(l\)， 上侧自由空间是 \(r\)，枚举 \(k<l\) ，\(\geq k\) 的部分可以自由延伸，剩下的可以递归做子问题，上侧同理，感觉可以涵盖到所有的方案。

先不考虑复杂度写了个暴力，调了一些边界的细节过了大样例。

然后加上个记忆化和前缀和就可以做到单次询问 \(O(n^5)\) ，不过记忆化后转移边根本跑不满，效率大概是 \(O(n^4)\)。

9:00~9:30

把T3暴力写了。

一开始想的是把所有度数大于根号的点拿出来建虚树，然后在虚树上做DDP，但是我甚至连DDP要维护什么都不知道，摆。

9:30~12:00

不会写T2暴力，写了贪心样例一个都不对，寄。

给T1上了个状压的拍，没拍出来问题。

result:

T1:15 T2:/ T3:20

2.总结

T1：

写T1的 k=2 部分时意识到了没有处理到左侧或者上侧一个都不选的情况，这个到时加上了，但是忘记了 k=1 也没有考虑，对拍也没拍 k=1 的情况，毕竟是枚举的做法觉得不可能出问题（而且对拍的 k=1 的暴力也犯了同样的错误），把 k=1 改了个循环范围就过了。

对于细节特别多的DP题还是要写完后冷静下来再检查一遍所有情况是否都讨论了，最好把所有的情况都罗列出来一项一项检查，毕竟这种题暴力都有可能写错。

T2：

很神秘的DP题。

上午的一个瞬间的想法是枚举区间 \(l,r\) 作为最终的连通区间，但是不会处理区间外的水怎么流进区间内，而且也不会算区间内最优挖多少土，就放弃了这个思路。

实际上正解就是基于这个的，考虑区间外的水一定是把区间边界到每个水的路上的土挖成递增的，换句话说，区间左边是递减的，区间右边是递增的，这个可以 \(O(n)\) 简单预处理。

再考虑区间内怎么算，现在所有的水都汇聚到了这个区间，先考虑钦定的水位高度，那么把所有高于这个高度的土挖到和这个高度一样，接下来算出平均值，如果相等，那么这个水位高度就是最终的高度。

考虑如果不是，如果平均值大了，说明应该挖更多的土，水位应该更低，反之应该提高水位。

于是就可以根据单调性二分水位了，用前缀和优化可以做到 \(O(n^2logV)\)。

考虑实际上平均值关于水位是一个分段函数，并且分段点在于区间内 \(h\) 形成的集合，并且这个函数是个一次函数（感性理解），于是复杂度可以降到 \(O(n^2logn)\)，确定出所在段后通过求出一次函数的表达式直接带入计算。

继续观察，设 \(f(l,r)\) 表示这个区间求出来的段（这里为了方便直接按值域划分为若干长度为1的段），发现 \(f(l,r)\geq f(l,r+1)\)，所以双（三？）指针可以做到均摊 \(O(n^2)\)，卡卡常就过了。

T3：

逆天题。

考虑把修改离线，对时间建线段树，那么每个叶节点相当于有若干个区间覆盖操作，非叶节点相当于把所有儿子按 max 合并后做若干个区间加，这个区间操作的数量是 \(O(n+m)\) 个的，于是就需要支持区间加，区间max，单点历史最小值，线段树合并即可。

思路确实只有这些，代码细节量爆炸（感性理解std写的是什么然后直接开贺）