2023.6.19 NOI模拟赛总结

最抽象的一场

1.时间安排

7:10~8:40

T1：平面中有直径限制的最大点集，看上去是个NPC，看不出图的性质感觉不能用传统的图论来做，可能是个数论几何题？

T2：博弈背景的计数，除了正解的55分都很好写，直接状压DP+爆搜胜负状态，满档的值域到时没大多少，但是想不明白有什么用。

T3：类似构造的最优化问题，除了最后一个都是 \(c_i=1\) 感觉很奇怪，感觉 \(n,m\leq 300\) 可以网络流搞一搞。

推了推T1，记得以前在数竞看到一个结论是一个直径为1的点集一定可以被一个半径为 \(\frac{\sqrt 3}{3}\) 的圆覆盖，但是这东西是单射，没法从圆推到点集，就很寄。

然后试着往传统图论上转化，但是这东西显然不能传递闭包，没办法用嘉心糖那题的传递闭包求DAG最长反链。

想了很久都没有靠谱的做法，就先把T2的55分暴力写了，样例都很顺利的过了。

8:40~10:30

推T3的网络流，首先联想到的是nfls集训的一道网络流题，同样是区间加，但是这题是一个二选一模型，就很难办，魔改了很久都感觉很假。

然后想到了最长k可重线段集问题，但是同样卡在了二选一这个限制中，魔改了一下感觉很对，写了之后和大样例差了太多就不想继续研究了，打了个暴力跑路。

10:30~12:00

感觉T1如果数据不是那么强的话很大概率双射是成立的，就硬写计算几何（虽然只需要算点线关系），因为过程中无法避免 \(\sqrt 3\) 就直接写 long double 了。

具体的，枚举点集的直径，这个可以通过枚举所有的点对并钦定是点集的直径然后做扫描线（？）。

总之细节非常多，写完调了很久才过大样例，这时候已经11:40左右了，光速拼了个状压交了。

result:

T1:15 T2:55 T3:10

2.总结

T1：

果然OI题还是OI题，不要轻易往数竞题上转化。

仍然考虑传统的最大团解法，如果补图是二分图就可以轻松跑最大独立集，用总点数-最大匹配就能求答案，所以主要目标应该是想办法构造一个二分图。

考虑仍然用我上午那个逆天做法中的枚举点集的直径，发现到这两个点距离都小于等于直径的点可以划分为两个集合，如下图：

两个集合，这不就是二分图的左右部吗？

于是把问题转化为了有两个最大团，两个最大团之间有一些边，求两个最大团合并出的更大的最大团。

求个补图，补图的边是两个集合中点对距离大于直径的边，显然二分图，直接跑传统算法即可，复杂度 \(O(n^4\sqrt n)\)，但是跑不满。

题外话：随机化可以拿80+，尊重随机化。

T2：

[ARC134E] Modulo Nim

感觉值域200还是有一定启发性的，可以看做根号分治。

先从小规模问题入手。

如果集合是 \({1}\) 或 \({2}\)，显然先手必败，接下来考虑 \({1,2}\)，显然必胜，再考虑其他情况，如果所有数对2取模后的集合是 \({1}\)，显然必胜。

现在情况来到了所有数都是2的倍数，显然这个时候是不能直接做的，因为有100种2的倍数，考虑对4取模，如果取模后的集合是 \({2}\)，显然必胜。

现在所有数都是4的倍数，倍数数量规模仍然不能直接做，继续考虑对8取模，发现这时候集合是 \({4}\)，不好讨论，进一步考虑对12取模，集合的可能性有 \({4}\)、\({8}\)、\({4,8}\)，通过打表可以得到前两个必胜，后一个必败。

现在只需要考虑所有12的倍数，这个时候因为12已经接近根号级别，只有16个12的倍数，所以可以状压DP做，至于状态的合法性可以爆搜，通过打表只有2000多种状态，是可以接受的。

于是这道人类智慧题就做完了，复杂度 \(O(n+16\times 2^{16}+?)\)。

T3:

逆天结论题，参考了lpf的博客，感觉没有必要自己再搬运一遍了，里面的思考过程很有启发意义。

模拟退火可以拿45分，还是要尊重随机化算法。