2023.6.15 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:10~8:30

T1：看上去很奇怪的数据结构，看到 \(max(a_i+a_j,b_i+b_j)\) 第一反应是拆成 \(a_i+a_j>b_i+b_j\) 做数点这类的，但是又删除可能又需要线段树分治。

T2：以前看云浅在u群问过类似的题，暴力和拆一半的fwt拼起来一共有50分，正解记得好像要很毒瘤的分讨构造。

T3：看上去不太难的字符串题，暴力建trie跳父亲的 \(O(nq)\) 居然有60分。

先推了推T1，不删除可以开个主席树，带上删除可以线段树分治，但是很麻烦，预测4k代码量，而且只有60分不太想写。

然后先把T2的暴力写了，能过大样例，稍微处理一下细节就可以写出来拆一半的fwt，可以和暴力拍上。

8:30~9:00

暴力建trie，记录每个区间对应的节点，两个串的lcp可以刻画成lca的深度，于是把贡献放在lca上，记录子树内的关键点数量 \(sz\)，答案就是 \(\sum C_{sz}^{2}\)，简单好写。

目测上sam需要树剖+分讨，估计是重工业，不想写，就先去搞T1了。

9:00~12:00

还是想直接写正解，推了推要做什么，每个元素有一个出现的时间段，每个询问也是时间段，难道要区间数点？但是不是计数而是max很难处理。

后来想了想可以先按照权值排序，这样相当于建一个下标线段树而不是权值线段树，支持线段树上区间修改区间查询。

以为推对了，开始写，快写完发现不太对啊，我怎么求出每个时刻的答案（根本绷不住）。

发现最坏情况还是 \(O(n^2logn)\) 的，寄。

于是先把暴力写了，没大样例只能先相信没问题。

然后是不删除，怕动态开点常数太大又离线离散化改成普通线段树，能和暴力拍上。

这时候已经11点了，想着写个线段树分治算了，一直调不出来。

一直调到最后，只能相信数据水，把没调出来的线段树分治交了。

result:

T1:35 T2:50 T3:60

（随着难度递增而递增的分数，抽象）

2.总结

T1：

没想到线段树分治没挂，暴力和不删除都挂了，笑死，还是有一些细节没考虑到。

正解考虑还是对权值建线段树，每个白点的权值是 \(a_i-b_i\)，黑点是 \(b_i-a_i\)，然后按时间维护这个线段树，加入或者删除一个元素，这个可以通过在叶节点维护可删堆解决，在每个线段树上的区间维护当前区间内两家蛋糕满足条件的最小值。

合并答案的时候需要一些分类讨论，讨论蛋糕的来源是黑点还是白点，答案就是全局的最小值，复杂度 \(O(nlogn)\)。

T2：

人类智慧题。

正解就是在FWT的过程中对每一位做这一位对应的变换，\(b_i=0\) 就不变换，\(b_i=1\) 做 FWTOR，\(b_i=2\) 做 FWTAND，\(b_i=3\) 做 FWTXOR，看上去很对，不会严谨证正确性。

T3：

简单SAM题，看大家都是78k的样子，我的做法比较轻工业。

加入操作可以直接二分+hash求出来加入的区间，然后在sam上定位到这个节点，这个是容易的，sam上倍增即可。

到这里其实就可以对parent树进行树剖然后分讨算答案了，分讨的原因在于定位到的节点是包含这个串的，这个串真正的位置可能是在定位到的点到他父亲的转移边上，这个很难受。

考虑一种简单的做法，不妨把这些特殊的边上的点拿出来，然后类似建虚树，虽然树的规模变大了，但是代码非常好写，代价是常数更大。

维护答案一种是我考试时推的维护组合数，就是线段树跑范德蒙德卷积，估计常数大到飞起，更简单的是考虑增量，只算加入/删除这个点后答案会变化多少，不难发现是祖先链所有点的子树大小乘这个点的权值，权值就是到父亲的转移边的长度，当然新建的节点也是需要考虑转移边长度的，都不难处理。

复杂度是树剖线段树复杂度，\(O(nlog^2n)\)，跑的比较极限。