2023.6.12 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:10~9:00

T1：关于实数的概率期望，在区间内撒实数点，看起来比较抽象，题意是和笛卡尔树相关的，没观察出特别处。

T2：最优化DP。题目给了一个非常逆天的分段函数，一次拼上两个二次，观察不出任何可以用的维护最优化DP的东西。

T3：神秘线性代数题，大概大家都是暴力分，暴力行列式有16分。

一开始想的是全排列枚举每个数的排名，计算满足这个排列的概率，但是卡在了计算概率上。

离散化是肯定的，枚举当前的放在哪里，前面的如果小于这个位置是简单的，难点在如何计算落在的段相同时的概率。

一开始感觉是一个特殊的转移系数，推了很久都没推出来合理的系数，有点自闭，已经过于1h++，决定先换题换换脑子。

T3打了个暴力行列式，试着推一推题面给的柯西比内公式看能否配上一个非常巧的矩阵B，但是我不会。

然后写了个T2的暴力，感觉 \(a_i=d_i=n\) 是可以写的，留着暴力对拍。

9:00~10:00

继续推T1的概率计算方式，这时候重新读题面的样例解释，意识到也许可以把落在的段相同的点额外计算。

那么就需要把DP加一个维度，\(f_{i,j,k}\) 表示 \(i\) 落在段 \(j\)，此时这个段有 \(k\) 个点的概率，根据样例解释的启发，如果新建一个段，那么概率直接乘上一个 \(\frac{1}{k!}\) 就好。

写完这个 \(O(n!n^4)\) 的东西，测一下样例对了，但是没大样例，从头缕了一遍流程，感觉是没问题的，只能相信。

虽然能前缀和优化到 \(O(n!n^3)\) ，但是自己造了个满数据，跑的还挺快，就没管（大常数OJ伏笔）。

10:00~12:00

一开始以为 \(a_i=d_i=n\) 是难做的性质，后来发现在这个条件下这个二次函数增长非常满，换句话说，选跨全局的二次函数甚至不如每个都是一个单独的二次函数，于是直接全加起来就好，可以和暴力拍上随机数据。

然后打表，试图找点二分/三分的东西，果然什么都没，于是开始乱搞，划分若干个区间然后分别三分，随一些点取最优，随机数据稳定跑。

result:

T1:45 T2:24 T3:4

(都是细节挂的分……不发大样例/zhm/zhm/zhm/tuu/tuu/tuu)

2.总结

T1：

从指数级算法到多项式算法需要用到化整体为部分的思想。

考虑我们要算的东西是每个点在笛卡尔树上的深度，一个点到根的距离等价于一个点到根的链上的点数-1（自己）。

于是我们可以枚举每个点对，计算他们在笛卡尔树上有祖先关系的概率，根据期望的定义和线性性质直接把概率相加即可。

有祖先关系的条件是简单的，假设现在求 \(i<j\) ，\(j\) 是 \(i\) 的祖先，那么只需要满足 \(i\) 到 \(j-1\) 的所有点都小于 \(j\) 即可，这个DP只需要枚举右端点和右端点所在的段，然后 \(O(n)-O(n)\) DP算中间这一段的概率即可。

观察我们的DP过程，发现左端点是谁并不重要，于是可以先枚举段，然后从左到右记录一个类似扫描线的和，正着扫一遍，每个位置如果可以成为右端点就算一下左端点的和，内层的DP是 \(O(n)-O(1)\) 的，整体复杂度 \(O(n^3)\)，可以通过。

T2：

题目的函数不是乱给的（他说他是乱给的，他可不是乱给的昂）。

如果函数去掉第三部分，那么把分段函数的前两段分开成两个独立的部分，忽视掉定义域的限制，会发现是不影响两个函数取max的正确性的，因为相交以后两个函数都一直在减，观察出这个就可以简单李超树维护了。

李超树是有可以维护二次函数的写法的，不过最常见的还是转成一次函数，也就是把平方项独立出来，放到对应下标特殊计算，树上维护的还是一次函数。

现在考虑上第三部分，因为他相交之后是增的，会影响正确性，所以不能直接加入。

我的处理方法是在满足定义域的位置再加入这个二次函数，也就是类似扫描线的东西，恰好这个函数定义域是没有右边界的，所以可以顺序扫，仍然可以跟第二个部分一样简单地用李超树维护。

T3：

L什么V？LG什么？什么GV？