2023.6.3 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:10~8:50

T1：看上去感觉很简单的图联通块计数，感觉枚举子集是很简单的，应该能做 \(O(3^nm^2)\)。

T2：关于极差的构造，\(O(n^4)\) 的DP是简单的，01状态也许能 bitset 优化。

T3：串串题，题目是裸的区间Z函数和，但是我不会求Z函数，可以用SAM代替，\(O(n^2)\) 是简单的。

然后硬造T1的状压DP，始终记重，主要在于我是枚举两个不交集合拼起来，但是拼的时候很难通过容斥来控制选的边数，就寄了。

8:50~9:30

10分钟写了T2的30分暴力DP，不想写SAM用30分钟写了T3的暴力二分+hash。

9:30~11:00

决定换一换T1的思路，改成枚举边，加入一条边更新一下每个联通块的答案，复杂度很炸，\(O(3^nm^3)\)，经过一番大卡常后60分的数据可以跑进2s内。

11:00~12:00

写了个SAM，发现本质上是区间内所有点与一个给定点的lca的深度之和，但不完全是，还要和每个点所代表的后缀长度取min，这个取min非常恶心，转化了半天都不会做，只能卡卡常希望 \(O(n^2)\) 能多过几分。

result:

T1:10 T2:30 T3:30

2.总结

T1：

尊重读题，尊重模数，tmbd直接粘的取模板子基准是998244353，这题搞个1e9+7没看到，shaber，改了轻松60。

我那个逆天的DP需要以边为状态，没有出路，所以只能改成正解的那种DP。

考虑枚举让 \(s\) 连通用 \(i\) 条边的方案数，如果不考虑连通就是 \(C_{sz_s}^{i}\)，其中 \(sz_s\) 表示集合 \(s\) 的导出子图所含边数。

然后考虑容斥，枚举一个含 \(1\) 的子集 \(t\)，要求 \(t\) 是连通块，其他随意，那么就是 \(f_{s,i}=C_{sz_s}^{i}-\sum_{t\subsetneq s \and 1\in t}\sum_{j}f_{t,j}C_{sz_{s\setminus t}}^{i-j}\)。

这样复杂度是 \(O(3^nm^2)\)。

然后考虑把所有 \(sz_{s\setminus t}\) 放在一起转移，就可以轻松做到 \(O(3^nm)\)。

这个逆天的东西是可以通过卡上下界AC的，不好评价。

这波主打一个突出尊重容斥。

T2：

从 \(n^2\) 的做法开始都和正解相关，也就是暴力只有30分，真好。

把 \(a\) 序列差分。令 \(c_{i}=a_i-a_{i-1}\)，那么有 \(b_i=\max(|c_{i-1}|, |c_i|, |c_{i-1}+c_i|)\)。

考虑先DP出一个合法的 \(|c_i|\) 序列，再决定每个差分的符号。

设 \(f_{i,j}\) 表示前缀 \(i\) 让 \(|c_i|=j\) 是否有合法方案。

转移分三类：

做完后再做一个确定符号的DP，这个按照 \(b_i=\max(|c_{i-1}|, |c_i|, |c_{i-1}+c_i|)\) 来做就好。

观察到状态只有01，并且1的位置满足是一个区间加上若干单点，于是可以维护区间和单点，用 std::deque，转移形如把队列移除若干队首或队尾，清空队列，在队列加入1个元素，新建一个区间，都是能维护的。

细节非常多，复杂度 \(O(n)\)。

T3：

咕。