2023.5.31 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:10~9:00

T1：开场看到T1是划分集合最优化方案而且贡献巨难计算，有点想摆，想到8点都没想出来一个复杂度低于指数级枚举的DP做法。

T2：以前nfls集训出过的题，是个扫描线+线段树维护范德蒙德卷积，但是当时没订，这下伏笔了。

T3：与中位数有关的计数DP，可能能胡出来一个 \(m\leq 10\) 的 \(O(nmk^6)\) 的东西，但是我相信状态数非常少。

想T1想到8点没有DP的思路，然后又想了半个小时T2的正解，但是已经忘了正解的推导过程，最后用半个小时把T3的那个离谱的东西实现了，样例能过，造了组 \(m\leq 10\) 的数据，跑的飞快，就不管了，理论35分。

9:00~10:00

把T2的bitset写了，复杂度 \(O(\frac{n^3}{w})\)。相信数据够水。

推了推容斥，瓶颈在于求三个矩形两两相交的方案数，发现自己完全不会做，摆了。

10:00~12:00

把T1的状压暴力写了，然后试着写了个贪心，先假设所有点都在第一个集合，然后每次贪心选择能让下一个答案最小的点放到第二个集合，发现居然能过所有样例，先相信。

然后推了一推，本质上需要支持全局-1，当前点到根的链上与当前点 \(w\) 相同的点+1，当前点子树内与当前点 \(w\) 相同的点+1。

现在面临一个抉择，要么冲 3log 树剖+带修树套树，要么写B性质 \(w\) 构成一个排列只需要全局-1，感觉 \(3log\) 太逆天了，而且带修树套树非常难写，就写了后者，理论65分。

result:

T1:60（没注意 \(w\) 范围，RE）T2：30 T3：30（数据出锅了一个点，应该是35）

2.总结

T1：

事实上不需要树套树，有一个小常数 2log 做法是对于每种颜色建一个虚树森林，然后在虚树上跑树剖，维护一个堆表示每种颜色的答案，不太好写。

我是正着做的，正解是考虑倒着做，先考虑所有点都在第二个集合，然后用调整法+分类讨论证明每次如果确定选某种颜色的点，一定是选这种颜色的点形成的虚树森林的若干个根的最值。

于是对于每种颜色建出来虚树森林，开个堆维护当前的虚树根集合，再开个堆维护所有颜色的最优值，删除一个虚树的根把虚树上的所有儿子再加入就好。

不需要真的建出虚树，用记忆化就可以了，复杂度是堆的 1log。

T2：

考虑把每个矩形看做一个点，两个矩形相交就把两个点连一条边，转化成选三个点的没有边的导出子图。

考虑容斥，用所有的方案 \(C_{n}^3\) 减去含有一、二、三条边的。

前两者只需要求出每个点的度数，也就是和这个矩形相交的矩形数量，这个可以简单扫描线。

具体的，考虑矩形相交在 \(l,r\) 上分为两类：\(l_j\leq l_i\leq r_j\) 和 \(l_i<l_j\leq r_i\)。

对于前者，考虑在 \(l_j\) 处加入线段 \([u_j,d_j]\)，在 \(r_j+1\) 处删除，在 \(l_i\) 计算与 \([u_i,d_i]\) 相交的数量。

对于后者，考虑差分，转化成 \(\leq r_i\) 的减去 \(\leq l_i\) 的，类似的扫描线。

现在考虑第三种情况，三个矩形两两相交，这时候考虑一种做法，在 \(l_i\) 处加入 \([u_i, d_i]\)，在 \(r_i+1\) 处删除，求某个时刻有多少对线段与 \([u,d]\) 相交的线段相交。

维护两个数组 \(v1, v2\)，加入一条线段 \([u_i,d_i]\) 时，对 \([u_i,d_i]\) 的 \(v1\) +1，对于 \([u_i,d_i)\) 的 \(v2\)+1，删除时类似，那么对于一个查询的答案就是 \(\sum_{i=u}^{d}(C_{v1_i}^2-C_{v2_i}^2)\)，这是因为用 \([x,y]\) 处的贡献减去了 \([x,y-1]\) 的贡献，刚好形成一个差分，不重不漏。

于是在线段树上维护 \(C_{x}^2\) 就好，区间下放标记用范德蒙德卷积计算即可。

复杂度 \(O(nlogn)\)。

T3：

我的35分DP实际上可以改成 \(O((n+k^5)m)\) 的，具体考虑如果区间内没有-1那么DP值是常数，可以提前预处理，这样需要计算的区间数量是 \(O(k)\) 个，准确来讲是 \(O(klog_3n)\) 个，DP过程是三个数组的背包，可以先合并两个，再合并第三个，复杂度可以从 \(O(k^6)\) 变成 \(O(k^4)\)。

考虑这个东西可以先把给定的值排序去重，那么相邻的两个值之间跑出来的DP数组是相同的，唯一不同的是系数，系数是一个 \(x^j(m-x)^k\) 的形式，是个 \(j+k\leq h\) 次多项式，前缀和就是 \(h+1\) 次多项式，用拉插就可以解决了，这个拉插可以做到线性，复杂度变为 \(O(n^2+nk^5)\)。

注意到只有把给定的值排序去重后只有 \(O(k)\) 个段是会产生贡献的，考虑 \(-1\) 的数量只会最多让中位数改变 \(O(k)\) 次，可以提前判断这个段是否存在成为中位数的方案，如果能再做DP。

于是复杂度就变成 \(O(nk+k^6)\)，用vector卡空间就可以过掉了。