2023.5.26 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:10~8:30

T1:APIO上QLR讲过的题，把哈密顿路拆成从1开始的两条链即可，时间复杂度 \(O(n2^n)\)，空间复杂度 \(O(2^n)\)。

T2:数据结构题，大概口嗨了个 \(O(n\sqrt n logV)\) 的东西，分块后每个块维护一个主席树来存经过这个块后变成的值，感觉非常难写而且不好拓展，也许可以过50分。

T3:神秘构造题，用了提答的形式，前三个点比较小感觉自己能手玩一个比较优的解，后面的就不知道怎么办了，不过操作次数上界是 \(n-1\) 每个点至少能拿1分。

一开始没想起来APIO讲过，用了半个多小时写了一个复杂度很玄学但是不到 \(O(n^22^n)\) 的东西，但是完全跑不动满档数据，后面想起来大概20分钟就写完了，造了个极限数据轻松跑过。

8:30~9:00

先把T2的 \(O(nm)\) 暴力写了。

一开始先想特殊性质分，结果发现都不太好写，都要很复杂的分类讨论，而且不知道正确性，就先放了。

9:00~10:00

玩提答时间，\(n=10\) 玩出来4次操作，16用8次，19用10次，感觉已经非常优了。

想了一会后面的大数据怎么做，暂时没思路。

10:00~12:00

开始冲T2的大常数 \(O(n\sqrt nlogV)\) ，大概11点才调完，但是大样例是一个都跑不过……。

后面一个小时一直在卡常，加了一些不知道是否有用的剪枝，并玄学调块长，但是又遇到卡空间的问题……

反正最后东拼西凑总算是能过掉所有大样例，而且跑的还挺快，就试图开到 \(2e5\) 想过更多的分（结果伏笔了）。

result:

T1：100 T2：10 T3：39

2.总结

T2：

除了暴力后面的点有T有RE……

把空间改到开 \(2e5\) 之前的某个版本轻松过了40分，难崩。

所以不要太过于相信分块算法啊kura，老老实实用分块拿该拿的分，别得不偿失了。

看完正解意识到自己是超级小丑，我用主席树维护的东西实际上是一个有三部分的分段函数，并且这个分段函数合并是非常简单的分类讨论（非常简单？），但是我为什么没看出来呢，怎么绘世呢。

写一个分段函数类，用线段树维护区间的函数复合，查询时线段树上二分即可。

复杂度 \(O(nlogn)\)。

T3：

看到题解感觉自己更小丑了。

我场上卡在如果两个块是相邻，也就是后面的块的开头是前面的块的结尾+1，这时候我不会快速合并。

实际上只需要把下一个块的开头设置成上一个块的末尾，那么对于后面的块只需要做和前面的块相同的操作就好了，因为每个块只需要保住开头是满的就可以用构造的操作等价地构造了。

利用这个可以轻松过60+分，只需要按照每 \(8\) 个一个进行构造，对于最右侧剩下的一些不足8个的手完一下打表就好。

正解就是先证了答案下界是 \(max(\lceil log2(n)\rceil, \lceil\frac{n-2}{5}\rceil)\)，然后对于 \(n\leq 16\) 的部分手玩/爆搜， \(n>16\) 的部分用块长 \(\leq16\) 的块来填充，做一个DP即可。

不会爆搜，2到12和14的手玩是简单的，难的在于13,15和16，出题人良心地给出了16的构造，根据这个可以构造出15，13需要一些技术含量，这里简单放一下我的构造方法。

通过查看数据/问已经过了的同学/因为已经能构造出来6，但是WA了，\(n=12\) 时已经需要5次了可以知道 \(n=13\) 时答案是5。

我是从每次需要合并处多少个满的入手，我们一共需要合并处 \(13-1=12\) 个满的，因为1初始时就是满的，注意到每次最多合并处4个满的，第一次只能合并出一个，第五次已经是合并出4个最优，所以是一个 1+?+?+?+4=12 的式子，并且 ? 的值一定递增，所以我们猜测是 1+2+2+3+4=12。

我们肯定是最后把10到13这4个合并满，这四个可以通过先把9合并满，然后在前四次操作中通过合并以外的空余操作来凑出 11 10 11、13 12 13、12 11 12、13 11 13。

第一次操作为了第二次能合并出两个，就需要做操作 2 1 2 和 4 3 4，这里有两个空余，刚好把 11 10 11、13 12 13做了。

剩下的我自己玩的时候顺理成章就推出来了，感觉这样玩是比较有理有据的。

提供下我的 \(n=13\) 的构造：

5
2 1 2 4 3 4 11 10 11 13 12 13
3 2 3 4 2 4 6 5 6 8 7 8
5 4 5 6 4 6 9 8 9 12 11 12
7 6 7 8 6 8 9 6 9 13 11 13
10 9 10 11 9 10 12 9 12 13 9 13