2023.4.18 nfls集训Day2总结

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1.时间安排

7:50~9:30

T1：题目巨长的概率期望题，感觉是阅读理解题。

T2：关于树的直径问题，一眼树形DP+分类讨论，而且数据范围是 \(4e6\) 只能线性了。

T3：非常复杂的网格上的最优化问题，感觉可以插头DP，但是 \(30\) 的数据范围显然是搞一些网络流相关的东西。

T4：DS题，没有部分分，离线可能很简单，但是强制在线。

直接写T2正解，每个点维护一个三元组表示最大，次大，第三大就能分类讨论处理了，细节很多，还好是IOI赛制随便交，9:30左右终于过了。

9:30~10:00

先把T4仅有的30分部分分写了，思考了一会没想出来怎么转化。

10:00~12:00

先想了半小时的T3，觉得很难用简单的费用流建出来图，而且题目要求的所谓的环很难在图上体现出来，也不想写巨型分讨插头DP，就先摆了。

想了一下T1，觉得大概就是每次可以把区间分成不超过 \(n+1\) 段，这样子"广义"二分下去，一开始以为均分就是最优的，调了调能过样例，但是怎么都过不去测试数据。

猛然间意识到这样二分复杂度是 \(n|V|log|V|\) 的，显然不是出题人想要的复杂度，而且这个东西含有"划分段"，"最优"这些要素，所以直接DP，写着写着发现复杂度变成了 \(|V|^4n\)，不过能过小测试点。

12:00~12:50

吃饭吃了20分钟，猛然间意识到这个东西可以改成简单 \(|V|^3n\)，回去改了过了这个部分分。

result:

T1：56 T2：100 T3：/ T4：30

2.总结

Div2T1：

时间来不及了，应该是能A掉的。

观察到DP过程实际上是可以存在继承关系的，把每次清空去掉，直接在上个版本上做新一层的DP就可以做到 \(|V|^2n\)了，多了一些细节。

Div1T1(Div2T3)：

确实是网络流题。

首先环一定是黑白相间的，那么把图黑白染色一下，并强行钦定黑色只连上下边，白色只连左右边（可以交换），这个是因为图的形态，每个点必须伸出恰好一条横边和一条竖边，这个边权只需要赋值成题面给出的就好。

最关键的问题在于如何让每个点找到他应该在的环，这里用了一个特殊的模型，考虑拆点，每个点 \(x\) 连向 \(x'\)，如果这条边被流了，就代表这个点没有在任何环中，那么这个边的边权就需要赋值为0，表示不产生贡献。

对于每条有向边 \(x->y\)，连出来 \(x->y'\)，因为这个图 \(x\) 的入度都是1，\(x'\) 的出度都是1，所以如果满流，每个点一定找到了所属的环或选择不产生贡献。

直接跑费用流，复杂度上界 \(O(n^3m^3)\)，数据非常强。

Div1T2(Div2T4):

令 \(nxt_i\) 表示 \(i\) 之后最近的与 \(a_i\) 相等的位置，没有则为 \(n+1\)。

答案即为 \(\sum_{i=l}^{r}min(min_{i\leq j\leq r}{nxtj}, r+1)-i\)。

没有可持久化就是楼房重建，具体的是用到了线段树维护前/后缀最小值合并时二分的trick。

把这个东西强行可持久化即可，复杂度时间2log，空间1log，非常难写。

没写过楼房重建，确实转化不算太难

Div1T3:

看题，一眼丁真以为是所有本质不同的直线数，但是很快就被人叉了。

其实差不多，是求所有除两端点是格点不经过其他格点的线段数，这个有经典结论是长宽互质。

证明就考虑把线段绕中点统一向某个方向转一个非常小的角度，容易发现是本质不同的方案（其实和我的结论差不多）。

推一推式子就能杜教筛了，式子挺简单的。

Div1T4:

真的有人卷计算几何吗？