2022.08.02 NOI模拟赛

1.时间安排

7:30~8:00

T1：数据结构题，对每个点求到其他所有点的第K短路径，有 $ n^2log $ 和只求最大值的DP38分，还有34分应该是 \(n\sqrtnlogn\) 或者三个log。

T2：树上DP题，给定根的树，问K次access后得到的不同树的形态数量，只会暴力的21分，链的23分也许有规律可循。

T3：简单推一推可以暴力fwt做 \(n^3logn\)，暂时想不到怎么做。

8:00~8:30

先打了T1的暴力和最大值的DP，大样例没问题。

8:30~9:30

先打了T3的暴搜，然后写推的fwt，发现因为unsigned long long 自然溢出的问题，导致负数计算出错，突发奇想因为 \(80^6\) 大概是2e12，就找了个1e13级别的模数，样例没问题。

9:30~10:00

先打了T2的暴力，然后打表发现当树形态是链的时候，答案是 \(\sum_{i=0}^{k}C_{n-1}^k\)，可以O(min(n,k))解决。

之后想了想怎么写DP，分讨太困难了，不会（不想）分讨。

10:00~12:00

因为T1保证树形态随机，可以直接暴力往根上跳，第K大可以二分答案转判定，问题转化成了如何求小于等于mid的路径条数。

想了若干种方法，都是\(n^2\)的很难受。

到11点左右突然想可以用主席树维护每棵子树所有点到子树根的距离，打了个主席树，样例没问题。

后来想了想怎么降log，数据结构是严格难于log，不可能降下去，跳链是题目性质也不能动，所以只能从二分下手。

想到似乎可以线段树上二分，但是值域不同，看上去没法做。

12:00~12:30

开摆。

result:

T1:38(本地跑了72分) T2:44 T3:29

2.总结

T1：

脑子出故障了，能直接用vector做非要写主席树，不知道自己怎么想的。

但是正解确实是线段树上二分。

J神给出了不一样的做法，还没明白，给出自己写的线段树二分实现。

首先维护的东西变成 \(dis[i]-2*dis[subtree_root]\) ，结合树上两点距离计算方式，查询小于等于mid-dis[x]的路径数量即可，可以同时对x到根1的log棵线段树同时二分，这时值域是相同的就可以做了。

但是会算重一些点，比如对于某点p和他的父亲fa，如果一个点q满足了 \(dis[q]-2*dis[fa]<=mid\) 且 \(dis[q]-2*dis[p]+2*(p,fa)<=mid\)

额外对每棵子树多维护一棵线段树即可。

T2:

%L神61分DP

回来补上题解

（待upd）

T3:

%J神62分

实际上一个部分是max卷积（没看出来……），可以用前缀和优化。

这个前缀和优化有一个简单的实现：

先把两个多项式分别做前缀和，暴力乘后再差分即可。

这题暴力乘前加上fwt就行，之后ifwt回去。

正解需要ntt，实在不想碰多项式乘法相关了……

据说有不需要ntt的做法，回来研究。

（待upd）