2022.07.27 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:30~7:50

T1：毒瘤树上DP题，求所有排列，满足相邻两点（包括首尾）的路径完美覆盖原树（即每个边被路径覆盖次数恰好等于边权），除了暴力感觉不可做。

T2：毒瘤数论题，对所有 \(n^m\) 种排列求lcm的和、乘积，但感觉比T1可做一点。

T3：维护表达式，每个字符是0/1、位运算符，括号中一种，0/1和位运算符给定出现概率，支持单点修改查询表达式值为1的概率，居然有25分暴力（难度倒序确信），还有25分没有括号。

7:50~8:30

写T1T2阶乘复杂度暴力，因为T1一开始没理解清题意调了一会，25pts。

8:30~10:00

暴力直接从左到右O(n)DP，遇到括号加深一层递归即可，细节不少，写到9点左右。

没有括号的话不需要递归，运算顺序保证严格从左到右，就可以套路的把DP转移方程用矩阵表达出来，用线段树维护。

细节也不少，用了40分钟左右。

还有数据随机的点，可能建出括号树后暴力修改复杂度正确，但场上脑子糊涂觉得复杂度是O(节点数)的，就没再继续思考，实际上是O(树高)，期望是logn的，痛失20分。（不过赛后据LYC说细节多的一批，12K代码恐怖如斯，但是思路很显然，还是亏了/kk）

10:00~12:30

发现T2n<=15似乎可以DP，复杂度与lcm的最大值有关，打表发现只有3e5左右，就可以直接暴力DP做15分。

（tnnd，忘记了如果DP的值是指数的话根据降幂公式要模\(\phi(mod)=mod-1\)，痛失8分）

如果只输出乘积的话可以再拿17分，就往这方面思考。

先直接对答案打表，什么规律都没有。

后来想根据 lcm=乘积/gcd，求lcm的乘积相当于分别求分母分子的乘积，可以独立做。

gcd好求，类似暴力DP，前i个数gcd=j的方案数就可以做了，但复杂度\(O(n^2m)\)稍有些大。

打了表，试图找规律，什么都找不到/kk

没办法，只能先这样，再考虑求乘积。

然后就不会做了，DP不出来，打表也找不到规律。

硬想到比赛结束。

result:

T1:20 T2:8 T3:50

2.总结

T1：

离谱DP，暴力转移还没看懂，更别说上ntt加速，甚至ntt加速是部分分解法。

（待upd）

T2:

记住计算指数需要降幂公式模\(\phi(mod)\)！！！！！

J神说他打表发现n=40左右不同的lcm只有300个，暴力做法用hash表实现可以做30分，用唯一分解定理表示法实现可以做40分。/kk

值当用分数买个结论了。

然后J神说了一个神秘DP，大概是唯一分解定理枚举lcm这类的，可以做乘积，大概懂了，但是不好写（咕咕）。

正解高深数学，我不配。/kk

（待upd）

T3：

相对今天来讲最简单一道题了，也复习了数据结构维护表达式的一些技巧。

建出来括号树后，暴力修改会寄，用树剖维护就好了，但是直接做的话可能到NOI2022打完都调不出来。

一个容易实现的做法是多叉树转二叉树，类似表达式树的样子，把表达式建成叶子是数字，父亲是运算符的样子，这样做的好处在于原来的做法是两个式子对一个运算符的运算，需要讨论矩乘的顺序（矩乘莫得交换律），这样的话只有两个数字对一个运算符的运算，不用考虑顺序。

建出这棵二叉树后树剖一下，每个节点放一个矩阵，里面的值是重儿子是0/1时整棵子树是0/1的概率，对叶子来说就是这个数字是0/1的概率（也可以只用两个数字来代替，另两个可以用1-得到）。

用树剖维护即可，复杂度 \(nlog^2\)。

记得上次遇到这类题还是[Ynoi2013] 文化课，套路不大一样，那题是一个根号的结论，这类维护表达式题做的比较少，套路见的不多。

这题的多叉树转二叉树是一个比较妙的想法，可以不用受交换律限制的运算的计算顺序的影响，很妙。