2022.07.18 zrNOI模拟赛总结

1.时间安排

8:00~8:30 看题面

T1：又是T组数据的数学题，求满足要求的矩阵的个数，只会爆搜打表，m=1可能有规律。

T2：概率期望DP题，不会写暴力。

T3：构造题，在数轴上选一些点是的给定区间至少含一个点，最小化区间点数的最大值，会20分暴力状压，剩下的没什么想法。

8:30~9:20

写了T1的爆搜，跑了大概20分钟跑出来了10*10的表。

上了神秘网站一查，m=1真有规律，但是这有点不讲武德，就不写了。

9:20~10:00

因为T组询问以为又是100组这样的，而状压是 \(2^20\) 复杂度肯定寄，后来更新题面T=5，写完状压T3就摆了。

10:00~13:00

感觉T2T3都不可做，莽T1。

首先发现问题可以转化成有一个k * k的矩阵有n次操作，每次可以刷一行或一列使得每个格子加一，使得最终每个格子都大于等于m的不同矩阵数。

大于等于m可以提前刷m次，所以操作n-m次即可，因为经典结论 \(\sum_{i=0}^{n}C_{i}^{m}=C_{n+1}^{m+1}\) 枚举操作次数可以用O(1)代替，不需要考虑。

总方案数显然可以经典插板 \(C_{n+2*k-1}^{2*k-1}\)，但重复的很棘手，比如 {1,2,1}{0,0,0} 与 {0,1,0}{1,1,1} 刷出来的矩阵是相同的。

考虑容斥，一开始想的是如果最小值是mn的话可以整体平移mn次，然后枚举最小值是mn的方案数容斥，但是寄了，感觉这样子计数很奇怪，没有深究。

后来想到可以把这些同构的操作强行去掉可以整体平移的部分，这个可以枚举，复杂度是调和计数 \(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=logn\) ，需要计算的是两边的刷的方案都至少含有一个0的方案。

一开始直接做，寄惨了，后来一想这直接容斥就行。

用所有的方案减去2倍的一边随意、一边不含0的方案加上两百都不含0的方案即可。

调了很久，在12:40左右才调出来，复杂度 \(O(Tnlogn)\)，测了组大数据跑不动，只能过60，认命了。

result:

T1:60 T2:/ T3:20

2.总结

T1：

其实离正解很近了。

利用上文的“刷子”的思想，考虑对于一个矩阵生成两个数列 \(x,y\)，每个数必然可以表示为 \(a_{i,j}=x_i+y_j\) 的形式，但是这样的数列并不是唯一的。

求数列数量是好求的，所以需要在数列与矩阵间建立一一对应关系。

不妨让 \(x\) 中一个数是0，比如是 \(x_i\) ，那么对于 \(a_i\) 这一行，必然有 \(y_j=a_{i,j}\)，\(y\) 就被唯一确定了，那 \(x\) 也就被唯一确定了，这样一一对应关系就建立起来了。

所以只需要让 \(x\) 中至少含一个0即可。

因为 \(a_{i,j}\geq m\) ，所以 \(y\) 一定是大于等于 \(m\) 的，都减去 \(m\) 后就和 \(x\) 数列的限制一样了。

至少含一个0用 \(x\geq 0\) 减去 \(x\geq 1\) 即可。

T2：

只看懂了建最短路树的部分，完全不懂之后的DP在干什么。

（待upd）

T3：

看不懂正解，口胡J神的场70分差分约束做法。

答案显然具有单调性，不妨二分答案。

提前把所有点离散化，方便之后的处理。

记 \(s_i\) 表示离散化后前 \(i\) 个点选择了多少个。

按下列约束关系建图

1 . \(s_i-s_{i-1}>=0,s_{i-1}-s_i>=-1\)

2 . 对于所有区间 \(s_r-s_{l-1}>=1, s_{l-1}-s_r>=-mid\)

3 . \(s_0-s_{len}>=-n\)（len为离散后点的数量）

最后建个超级源点跑最长路即可，复杂度 \(O(n^2logn)\)

（待upd）