2022.07.17 zrNOI模拟赛总结

1.时间安排

8:00~8:10 看题面

T1：数学题，以前作过类似的全是9的题，但这题是全是1，不好转成同余，不过有一眼的 \(Tn^2\) 做法。

T2：可能是图上的DP题，给了20分暴搜，也许存在 \(n^3\) 的DP，本身维护次小值就不好做，这题还是图，感觉不太可做。

T3：更是数学题，给了20分 \(n^5\) DP，而且感觉DP式不太像能优化的样子，数据范围1e18可能正解是插值这类的。

8:10~8:50

写了前三题暴力分，没给大样例，为了给后面的分对拍暴力写的比较谨慎。

8:50~9:00

写了T3的 \(n^5\) DP，感觉不存在优化空间。

9:00~11:30

先写了T1 \(n^3\) 的暴力计算，拍小数据没问题。发现一维是计算等比数列可以显然优化，因为0没有逆元被坑了一会，还是发现了问题所在，细节比较多调了比较久，对拍没问题。

造了组极限数据跑了20s，忘了多测外层还有个 \(T\) （顺带把T3忽略的多测用预处理去掉了复杂度里的 \(T\) ），本来以为可以模个大质数用二维前缀和，结果发现自己的算法是算出来所以的值后统计，根本没法记录，也不好用二维数据结构维护。

发现一个瓶颈在于复杂度是 \(n^2\)*快速幂，改成了预处理发现已经快了不少，跑到了1s左右，卡了卡常后就没再管。

继续思考，函数值必然成环，但是打表发现环长在一些模数仍然很大，不知道怎么做。

11:30~13:00

吃饭回来想T2，发现可以二分答案转判定，把图上小于等于当前二分值的边权值赋为0，其他的赋为1，跑最短路时1即可，这个最短路的长度是随着二分值减小而单增的，可以做。

但问题在于要跑最短路，复杂度为 \(qlog|V|(n+mlogm)\) ，2000根本跑不动，只能拿40。

想不出来复杂度怎么降，开摆。

result:

T1:40 T2:40 T3:20

2.总结

（送分场输麻了）

T1：

怕乘爆用了 long long 卡常了，改成 int 60分……

%J神场切。

正解一次询问复杂度是 \(O(\sqrt plogp)\) 的，但是我觉得J神的 \(O(\sqrt p*2^7)\) 更好理解。

发现题意可以这样转化： \(A(n)=\sum_{i=0}^{n-1}10^i\equiv 0\pmod p\)->\(9A(n)\equiv 0\pmod {9p}\)->\(10^n\equiv 1\pmod {9p}\)

所以当 \(p=2||p=5\) 答案一定是0，其他情况因为 \(\gcd(10, 9p)=1\)，环长一定是 \(\phi(9p)\) 的因数，可以直接 \(O(\sqrt p)\) 求出（或者直接用bsgs，带一个hash表的复杂度）。

得到环长 \(cir\) 后，由唯一分解定理可以分解成 \(\prod_{i}p_i^{d_i}\) 的形式。

设 \(n\) 表示为 \(kx\) 的形式。(\(k, x\) 都是正整数)

考虑搜索 \(x\) 与 \(cir\) 的质因数公共部分，这是 \(O(\sqrt p)\) 的。

那么 \(k\) 的取值只能在 \(1\) 到 \(n/x\) 内选，又因为不能重复，k不能含有公共部分的因子（当然如果公共部分因子的质数相同忽略）。

因为质因数分解最多只有7个不同的，所以 \(2^7\) 容斥即可，而且严格不满，可以通过。

之后考虑 \(m\) 的取值范围，取所有的质因数指数相除上取整的最大值到上界即可。

T2：

忘记了0/1最短路可以双端队列bfs做到 \(O(m)\) 拿60分 ，输麻了（我才不会说板子题当时用spfa水过去了）。

0/1最短路的双端队列bfs做法：从起点增广，按照三角形不等式更新到达点的最短路，如果当前边权是0，把下一个点加入队首，否则加入队尾，证明考虑贪心。最长路反过来即可。

正解用到了kruskal重构树，比赛时完全没往这上面想，不过回顾kruskal重构树的性质确实应该很容易往这方面思考：从小到大加边的重构树上两叶子的lca权值等于它们在原图上所有简单路径上最大边权的最小值。

建出来kruskal重构树后，考虑每次询问还是二分答案。

每次倍增到大于等于边权的两个节点，查询两个节点对应的子树中在原图上有没有连边或有没有交集。

直接利用线段树合并维护子树内向外连接的点集即可，复杂度\(O(nlog^2n)\)。

T3：

神仙数学题，第一步转化就非常妙。

题目要求 \(\prod_{i=1}^{k}min(a_i, b_i)\) ，可以转化成 \(\sum_{x_i}[\forall_i x_i\leq a_i ， x_i\leq b_i]\)，（这里 \(a\)，\(b\) 的要求与题目相同）。

交换枚举顺序，变成枚举 \(x\) 序列，看有多少合法的 \(a,b\) 序列，考虑枚举分给 \(x\) 的和，答案即为 \(\sum_{i=k}^{min(n, m)}C_{i-1}^{k-1}*C_{n-i+k-1}^{k-1}*C_{m-i+k-1}^{k-1}\)，因为模数很小，套用lucas定理就可以拿70分了。

正解考虑lucas的过程是把要求的两个数字拆成了 \(p\) 进制数，\(p\) 的取值恰到好处，可以做。

先把式子统一成 \(\sum_{i=k}^{min(n, m)}C_{i}^{k}*C_{n-i}^{k}*C_{m-i}^{k}\)，便于计算。

只会先把 \(n, m, k\) 拆成 \(p\) 进制的数，之后从低位到高位做数位DP，并记录 \(n, m\) 这两维有没有借位情况，并且在最终要求不能出现借位。

因为 \(i\) 超过范围后这个组合数计算结果为0，所以保证了正确性。

时间复杂度考虑记忆化后本质不同的状态只有6*4=24种，所以一次询问的复杂度为 \(O(24p)\)。