2022.07.05 NOI模拟赛总结

（久违的下午场）

1.时间安排

13:00~13:20 看题面

T1：数据结构题，给定序列表示这个位置上的数为2的这么多次幂，求相加和为2的整次幂的区间个数。感觉很典的样子，有40+分可做。

T2：数论题，n次n个组合数求和，不是特别擅长，有30分 \(n^2\) 暴力。

T3：看不出是什么，而且求一般图的最大匹配似乎很难，可能能写出来25分的暴力。

13:20~14:00

先开T1，写了41分的 \(n^2log\) 做法，看时限2s就懒得卡常了。

然后发现 \(a[i]\leq 30\) 直接用桶统计做扫描线就好了，再拿25分。

对剩下的正解分没什么想法，先看后面的题。

14:00~14:40

先打T2了 \(n^2\) 暴力，本地并不能跑过40分，想加一些剪枝但是总会被特殊数据卡掉，觉得出题人应该很严谨就放掉了剪枝的想法（埋下伏笔）。

试着推式子，发现总是把题目式子推成其他形态后又回到起点，先看T3。

14:40~15:30

写T3的暴力。

枚举排列已经有了 \(9!\) 的复杂度(n=9)，而求一般图最大权匹配我只会 \(9*7*5*3*1\) 的做法，什么带花树没学过而且复杂度是 \(9^3\) 也不一定能跑过，只好先打了个暴力。

细节写挂很多次，调了半个小时左右终于调出来了，手构数据没问题……

然后n=9根本跑不动。

突然想到无论序列的值时多少，离散化后和1到n的排列是等价的，那么只需要关心每个数会被算入答案多少次即可。

打了个表出来，特判n=9，调试没问题。

15:30~16:30

试着把T2往多项式上面推，发现复杂度甚至变成了 \(n^2log\)，寄。

回头看T1，测了组 \(n^2\) 的极限数据，T了，瞬间慌了。

冷静分析指针移动次数确实 \(n^2\)，发现问题在于set的log，可以用离散化去掉log，而且可以合并出来的不同的值的个数不会超过 \(nlogn\) 个，空间没问题。

光速写完对拍没问题。

16:30~17:00

实在想不出来分，试着类似n=9的特判给T3打了个表，然后成功找到规律，AC。（运气选手石锤）

17:00~17:50

摆烂时刻，T1和T2都想不出来更多的分了。

result:

T1:66 T2:30 T3:100

（rk1好耶，不过J神挂分了，J神TQL）

2.总结

T1：

数据结构妙题。

一个显然的结论：一段区间合并出来的数不会超过最大值+log(区间长度)，固定区间后直接枚举复杂度正确，问题来到了怎么固定区间。

显然分治，每次找到当前分治区间的最大点，分左右两段，每次把长的存入hash表，暴力从短的那段中找对应的端点数量即可。

容易发现分治区间总长度是低于 \(nlogn\) 的，每次查找是 \(log\)，忽略hash的常数整体复杂度是 \(O(nlog^2)\)。

一个细节（T了很多发才意识到，感谢zyz学长的hack数据）：不能直接暴力重构hash表，复杂度会退化到 \(n^2\)。

正确处理方式为先递归短的段，清空hash表后递归长的段，然后不要清空，直接利用即可。

容易发现总重构长度为 \(O(nlogn)\)，复杂度正确。

T2：

多项式题，还没看懂。

不过 \(n^2\)+剪枝跑过了一堆40分的，离谱。

upd：%Poly神J，J神的题解。

T3：

证明挺复杂，还没完全明白。