2022.07.01 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:40~8:00 看题面

T1：求树上子树加叶子不同色覆盖最小代价方案的构造题，看上去不太能做的样子，有30分状压枚举和若干特殊性质分。

T2：求子串最大hash值，而且题目说数据随机，可能有什么奇怪的性质，有30分 \(n^2\) 枚举。

T3：多源bfs求所有点的深度和，一眼看上去只会12分暴力模拟，n=2, x_i=0这些数据可能有什么特殊性质。

8:00~8:40

先写了T2的 \(n^2\) 枚举，然后写了T3的暴力模拟。

看了一会T3的特殊性质，用暴力打了n=2的表，没看出什么明显的规律，不过感觉是个分段等差数列的形式。

8:40~10:20

一开始连暴力都没想好怎么写，后来发现只要按找二进制去子树加一定不会出现重复颜色，直接 \(2^n*n\) 即可。

构造题居然不发spj，自己用了10几分钟手写了一个，但是仍然没法随机数据对拍（不知道构造出的方案价值是否最小），只能自己手构了一些小数据验证。

然后把菊花的分类讨论写了，大样例没问题。

之后想了很久树只有两层的分数，发现了一些小性质：

1. 一个非叶节点只能覆盖一个子树内的叶子。

2. 如果之前在子树内有一个叶子被他在子树内的祖先节点覆盖，那么当前节点只能选择是否覆盖之前的祖先节点。

3. 每个子树的问题互相独立，不受影响。

这样的话只需要从叶子往上合并最大值，同步更新是否作为候选点的标记即可。

已经可以知道选出那些点，问题来到了怎么用这些点构造方案。

一个非叶节点只能支配一个叶子，而且这个叶子具体是谁并不影响，只需要叶子在他的子树内即可。

于是贪心标记就可以构造合法方案了。

写完后用小数据对拍没问题。（因为太激动忘了造极端数据测试，还好没出问题……）

10:20~10:40

想着T2数据随机可能是有单调性这类的？打了表什么都没有，思考了很久没想明白随机数据有什么特点，跳T3（应该这时候写个暴力或者随机化骗分，但是想着T3可能很快推出来规律没写，埋下伏笔）。

10:40~12:05

继续就这刚开始打的表推规律，发现确实是两段等差数列求和，一段是16，一段是8。

两段数列的值很好求，关键在于他们的交界处很难处理。

一顿打表分析发现和横纵坐标差最大值有关，而且似乎还和奇偶性有关，还与最小值与最大值的差等等有关……

尝试了很久终于把坐标差最大值时奇数的情况推出来，暴力验证没问题。（到这里大概已经11:30了）

然后继续推偶数情况的规律，一直到考试结束也没推出来。

result:

T1:100 T2:30 T3:20

2.总结

T1：

%J神树形dp。

虽然我的set也是正确的，但是无法记录方案，无法通过这题。

还有一种做法是拆成差分数组后用最小生成树求解，也比较妙。

T2：

妙题。

随机化居然是答案大概率不低于 \(m-m/n^2\) (m为答案上界，n为字符串长度)，第一次听说这个结论

后面的hash转化也很妙。

设我们当前要检验的答案为 \(x\) ，如果存在 \(l<r\)，满足 \(s_r-base^{r-l}s_l=x\)，则此答案合法。

等式两边同时乘 base^{-r}，移项可以得到 \(base^{-r}s_r-base^{-r}x=base^{-l}s_l\)，这个式子两边下标分别独立，就可以用hash表做到 \(O(n)\) 检验了。

T3：

原题链接

根本没往扫描线上想，用矩形面积并容斥就能过K<=5e4的12分。

正解考虑矩形面积并显然是个二次函数，于是求出来3个点值就可以拉插了。