2022.06.29 NOI模拟赛总结

1. 时间安排

7:30~8:00 看题面

T1：数据范围允许直接暴力预处理两两lcp，但是接下来是一个区间二分图最大匹配问题，感觉复杂度降不下来，只能暴力做。

T2：计数题，998244353已经预示这是个多项式题，可以试试 \(n^3\) dp。

T3：树上DP，爆搜估计是搜不动的，试着写一写状压dp。

8:00~9:00

不想写费用流，暴力直接打了个状压dp，答案没问题。

想了很久满二分图有什么性质或者怎么压下来二分图的边数，没有结果。

9:00~10:00

打了个状压dp，答案没问题。

先试着把图拆成一部分有k个树一部分没有树，用之前的dp值去更新，乘上组合数系数，再二项式反演回去，但是答案错了。

查了很久是哪里的问题，找不到，先写T3。

10:00~11:00

实在想不到怎么dp，打了个爆搜，果然极限数据跑不动，只能老老实实dp。

想了一会发现点与点间的状态转移不受时间的影响，至于持续时间为0的可以直接视为点权伴随转移。

打完没问题，复杂度是 \(O(n^2(t+q))\)。

想了很久怎么降单次dp的复杂度，想不出来。

11:00~12:00

打了个T1的费用流骗分，然后继续查T2，一直到结束也没结果。

result:

T1: 20 T2: 20 T3: 0(细节写挂了)

2.总结

T1：

没想到居然是贪心……在二分图匹配上里正解越走越远。

可以暴力建出来反串的trie树，每次查询的时候暴力遍历trie树，这个点被当做lcp的次数即为l1-r1中结束位置在当前点的子树内的串的个数和l2-r2之间的个数取min，暴力统计即可。

正解是四维莫队，同时维护4个指针确定两个区间，把取min操作拆开，先处理l1-r1间正常加减，再处理l2-r2反过来加减即可维护出来两个值的差的绝对值，总字符数减去后就是答案的2倍。

T2：

%60分的Poly神J和DP神L。

没太懂L神的 \(O(n^2k)\) 做法，感觉很麻烦，J神的 \(O(n^2(logn+k))\) 多项式做法思路比较易懂。

首先自己犯了个很严重的错误：二项式反演是从钦定推到只有，也就是说求的方案应该是钦定K个树剩下随意，而不是钦定K个树剩下不能有树。

而且应该限制钦定的K个树必须是一个森林，并不是自认为的之前求出来的答案。

然后可以求出来 \(f_{i, j}=\sum_{k=1}^{i}f_{i-k, j-1}*C^k_n*k^{(k-2)}\)

（注意：n个点的图生成树个数为 \(n^{(n-2)}\) (可以用prufer序列证明)）

然后可以推钦定：

\(g_{i, j}=\sum_{k=0}^{i}f_{k, j}*C^k_i*2^{C^2_{i-k}}\)

最后二项式反演即可。

三者都可以用ntt加速，需要注意的是二项式反演的卷积形式是个减法卷积，需要特殊处理。

形如 \(f_i=\sum_{j=i}^{n}g_j*h_{j-i}\)，把g先翻转，做加法卷积后，把f翻转即可得到答案，证明可以用生成函数

正解是很麻烦的生成函数。

首先考虑一个式子：\(n^m=\sum_{i=0}^{m}n^{\underline i}S_{m, i}\)(S为斯特林数，可以用斯特林数组合意义证明)

题目要求 \(\sum (f(G))^k\)(G为图的形态)，可以转化为求 \((f(G))^{\underline k}\) 再用上式合并。

这个式子相当于求在所有树中选出来k棵的方案数。

所以答案就是 \(T^k(x)G(x)\)，其中 \(T(x)=\sum_{i>=1}\frac{i^{i-2}}{i!}x^i, G(x)=\sum_{i>=0}\frac{2^{C^2_i}}{i!}x^i\)。

K只有20，暴力做k遍即可。

复杂度：\(O(nk^2+nklogn)\)(J神说可以做到严格\(O(nklogn)\)%%%)

T3:

10分的代码去掉一个循环就是30分，不过思维难度可不只一个循环。

既然做一遍DP的复杂度不好降，与其钻研怎么降，不如想怎么能只用一遍DP求答案。

这种对n个点都求一遍的降DP次数套路以前只会往换根上面想，今天L神教会了我逆向思维的思路。

思考n遍DP的必要性在于固定了起点，其他点不能作为起点出发。

但是容易发现终点是不固定的，每个点都可以成为备选的终点，并且终点态唯一，不可以进行下一步的转移，换句话说终点态是已知的。

类似概率期望DP的思路，正着不好做，但终点态已知，就倒着做。

本题同样，考虑从T时刻出发，一步步倒推回0时刻，最终每个点0时刻的dp值就是该点作为起点的答案，正确性显然。

这种正难则反的思维很重要，今天又见到一种套路。

正解是很麻烦的点分树，还没懂。

（待upd）

others：

1 . 常用图相关生成函数

n个点的树：\(F(x)=\sum_{i>=1}\frac{i^{i-2}}{i!}x^i\)

n个点的图：\(F(x)=\sum_{i>=0}\frac{2^{C^2_i}}{i!}x^i\)

n个点的连通图：\(F(x)=ln\sum_{i>=0}\frac{2^{C^2_i}}{i!}x^i\)

2 . 复合函数求导（感谢J神）

\((f(g(x)))'=\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}*\frac{dg(x)}{dx}=f'(g(x))g'(x)\)(也提醒了\((f(g(x)))'!=f'(g(x))\))