2022.06.14 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:30~8:00 看题面

T1：计数题，n很小，而且是有标号图计数类，可能需要n遍ntt这类的。有10分的暴力和30分状压。

T2：数据结构题，维护区间表达式求值，感觉很难做，有10分暴力和20分没有修改操作。

T3：一眼网络流，但是n有1e6，应该是dp这类的。有30分暴力dinic。还有10分特殊性质。

8:00~9:00

暴力：T1 10分暴力，T2 10分暴力，T3 40分dinic和特殊性质。

9:00~10:00

写T2 20分无修改。

细节比较多，调了很久。

之后想了一会只修改符号的分数，没什么思路。

10:00~11:00

想T1的状压分。

观察得到每个点只有一个入度和出度。

考虑求至少k个松针的方案数，然后容斥。

用三进制状压枚举每个点是否有松针/有左或右松针，其他点随便选，即阶乘。

用二项式反演合并即可。

复杂度 \(O(n3^n)\) 过不掉。

不过n只有15，大于13的打个表就好了。

之后想了一下 n=100 的部分分，没什么思路，这个做法也没法用多项式优化。

11:00~12:00

试着写T3的n=5000。

先试着写线段树优化建图，突然意识到线段树优化建图的前提是线段树上的边容量都是inf，假了。

然后模仿模拟费用流，写了一个很迫真的贪心模拟最大流，样例都过不去。

之后一直想怎么样让贪心更贪，一直想到结束。

result:

T1：30 T2：30 T3：40

2.反思

T1：

%学姐场切。

正解确实是二项式反演，松针的限制可以通过从小到大枚举来实现，求解dp[i][j][0/1][0/1]表示前i个点引出来j个松针[i是否被选][i+1是否被选]，求出来至少k个松针后二项式反演即可。

这个dp确实没想到，dp出来就是板子了，不过思路已经很接近正解了。

jsy说15是留给 \(O(n2^n)\)的，而且他的状压做法给正解很大启发，我的状压状态设计还是不够好。

不过jsy说他还没想到怎么用多项式求(或许能加强？)。

T2:

码量超大的一道题，不过思维难度不算太大。

因为一直在忙T1给T2数据结构题的时间太少了，感觉可以拿更多的分（只有字符修改需要套个线段树再分类讨论，实现应该不难）。

一个显然结论没想到：长度为n的序列最多可以划分出 \(O(\sqrt n)\) 个长度不同的子段。

并且随机数据的前置知识也不会：珂朵莉树。知道可以维护连续区间求解的话对正解启发很大。

T3：

离60分差了最关键的一步转化。

模拟最大流不存在，但就本题来讲模拟最小割是存在的，又因为最大流-最小割定理，这两个问题是等价的，求解最小割就是本题答案。

知道模拟最小割后秒想出来 \(O(n^2)\) dp。

正解的贪心不是很好想，但是证明很显然：先假设都割给汇点，按照给定的数据计算推流的代价后从小到大排序，因为每次选一个点推流需要减去前面选过的点数 * c ，这东西显然是递减的，所以贪心正确。

(未来我一定要研究出模拟最大流)