2022.06.09 NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:30~7:45 看题面

T1: 树上问题，子树异或，可能要用到一些数据结构。有随机生成树这档分，说明可能和树高有关。有30分 \(n^2\) 乱搞。

T2：多项式，有10分状压，可以试试推 \(n^3\) 的dp。

T3：树上问题，似乎不好转化为常见的数据结构题讨论，而且查的是全局路径最大，不是很好做。有30分乱搞复杂度。

7:45~8:30

先写了T1的 \(n^2\) ，测下发样例的时候发现询问并不是小于5000的，有点疑惑是不是发错数据了。

带着疑惑去打了个表，发现答案变化是有循环节的，而且似乎总是2的整次幂，进一步发现是大于等于树的最深深度的第一个2的整次幂。

虽然不会证，但是按照这个规律测了一下下发样例答案对了，就认为这个结论是对的。

进一步想到随机树高期望是 \(logn\) ，于是设置了一个阀值去跑第二个下发样例果然是对的（还好第二个下发样例是随机树），可以拿60分。

（然而，没有注意到数据范围的 \(t>=0\)，没有特判初始状态……埋下伏笔）

8:30~9:00

艰难打出来T2的状压，样例没问题。

思考dp没什么结果，先写T3。

9:00~10:00

本来以为可以 \(\frac{n^4}{w}\) 乱搞，结果写着写着变成了 \(\frac{n^5}{w}\) ，不过好在是卡不满上界，构造了个菊花也能跑动，就不管了。

一开始想错了，觉得可以用lct维护路径加和全局查，发现那样子会算重，如果硬要区分需要用bitset复杂度更高了，没什么好想法，弃了。

10:00~10:30

想了一个T2的dp，枚举前 \(i-1\) 个点要和第 \(i\) 个点链接的度数。打完后答案不对，思考一下树的形态并没有考虑全，没什么好想法，弃了。

10:30~12:00

给T1的暴力转移打了个表出来，发现是有规律的（而且打出来的系数矩阵似乎挺好看？），似乎叫谢尔宾斯基三角形。

现在预处理的复杂度是 \(O(n^2)\)，而查询是 \(O(1)\)的。吸取以前考试的经验，思考可不可以用什么方法平衡复杂度，做到都是 \(O(nlogn)\) 或 \(O(n\sqrt n)\)。

想到似乎可以倍增，预处理出来2的整次幂的转移系数，每次用2的整次幂去跳到要查询的时间。

但是似乎不可做，转移系数没问题，但是被转移的状态并不是初始状态，需要同步更新，而更新的复杂度不可避免是 \(O(n)\) 。

想了一些奇怪的方法，包括meet in middle预处理一半的状态拼起来等等，都不能解决问题。

然后就开摆了……

result:
T1: 0 T2: 10 T3: 30

（T1因为询问0的存在没有特判光荣爆0（为什么下发大样例里面什么特殊情况都没有……），加个特判就60分了……）。