2022.05.17NOI模拟赛总结

1.时间安排

7:00~7:30 看题面

T1：题意好复杂，应该是DP题，但是数据范围很小，可能比较毒瘤，暴力不是很好写。

T2：有50分的暴力，加入一个数再删除可能是线段树分治这类的，要求gcd可能要莫反。

T3：有30分暴力，还有15分的特殊性质很好写，数据范围只有15应该是状压DP。

T4：只有10分的全排列枚举，要求的东西还是最大值，感觉应该是数据结构维护DP，可能非常难做，有20分的链可以试试写一下。

7:30~8:30

把后三题的暴力写了，然后写了T3的15分特殊性质，拍了没问题。对于T4链的数据实在没什么想法。

8:30~9:30

自认为A的取值只能是给出的数字之中的，就直接枚举A暴力模拟，算时间复杂度是 \(O(n^2mlogn)\)，能卡过去，写了后样例能过，造了极限数据跑了2s左右，感觉问题不大。

9:30~11:00

一开始写的线段树分治，但是求一个数加入集合能产生多少互质对不好维护。一开始想用log时间解决（1e5能跑动 \(O(nlog^2n)\) ），但是没什么思路。

后来试着莫反一下，要求的东西是 \(\sum_{i=1}^n [gcd(i, x)==1] cnt[i]\) ，莫反一下变成了 \(\sum_{d=1}^{n} \mu(d) \sum_{d|i}^{n} [d|x]cnt[i]\)。

最后就变成了 \(\sum_{d|x} \mu(d) \sum_{d|i}^n cnt[i]\)

一个数的因数最多是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，所以直接枚举是 \(O(\sqrt n)*O(\sqrt n)=O(n)\)。

但是如果提前处理好后面的cnt，做一个 "因数后缀和"，就做到修查均为 \(O(\sqrt n)\)了。

一开始觉得复杂度是错的，是 \(O(n\sqrt nlogn)\) ，后来一分析，而线段树分治是均摊的，复杂度正确。

后来写的时候，发现根本不需要线段树分治，只需要先把这个数先剔除掉在减去贡献就好了。

写完和暴力对拍没问题。

11:00~11:30

思考T3 n=10的部分分，一开始想着沿用特殊性质的做法把所有合法路径(最多\(2^{10}\)=1024条路径)拉出来容斥，以为复杂度是 \(O(2^{2n})\) 的，后来一分析是 \(O(2^{2^{n}})\) 的，寄。

然后想试着转化成一个点是否能合法的概率，最后乘总方案数，但是没法排除重复的方案。

11:30~12:00

吃饭

12:00~12:30

吃饭的时候突然发现T1的做法假了，整体的斜率不一定是连续均匀变化的，光速冲回去机房想写个暴力，但是无从下手(枚举A是\(O(|V|=1e9)\)的)，不知道该怎么优化。

后来写了一些不等式计算什么时候做法会错，发现条件比较苛刻，不容易构造，而且这题没子任务，就听天由命了。

result:

T1:60 T2:100 T3:45 T4:10

（待upd）