2022.03.18省选模拟赛总结

1.时间安排

7:30~8:00

T1：数学题，简单一推就是求带权组合数之和，但是模数不为质数需要exlucas?

T2：求竞赛图的scc个数，30分可以用状压tarjan。

T3：数据结构体，20分暴力，40分可以莫队，树剖寄空间复杂度。

8:00~8:30 T1

先写了\(n^2\)暴力，然后把组合数写了。只知道exlucas本质是crt，但是不会写……

8:30~9:00 T2

写了T2的状压tarjan，简单剪了剪枝1分钟就把30分的表跑出来了。

回忆之前竞赛图的性质，但是已经忘了……

9:00~10:30 T3

把暴力以及链上的莫队写了，对拍没问题。

想树剖但是空间开不下，记得之前看过树上莫队的题，但是没写，不会。

瞎套dfn序但是觉得时间复杂度不对，就放弃了。

10:30~12:00

拐回来看T1对拍发现模数小于n时全是0，查半天错发现普通lucas写错了……

然后试着写模数=10的档，只有质因子2和5，但是没发现有什么特殊之处。

于是开始瞎写，把模数拆开后玄学用map维护组合数分子和分母的质因子个数，大力剪枝，n=10居然能极限跑过，但是其他模数就寄了。

想着还早就去推T2的dp，但是已经把竞赛图忘干净了……打了具体的表出来也看不出什么规律就放弃了。

result：

T1：50 T2：30 T3：60

2.反思

T1：

一位大神场切。

思路离正解还有一段不算很长的距离，没有意识到可以只对模数质因数分解，而且也忘了exgcd可以求解互质的inv。

T2：

两位大神场切。

忘记了竞赛图最重要的性质：缩点后是链。\(O(n^3)\)应该场上就能做出来，但是忘的一干二净……

T3：

不会树上莫队真的一点都做不动，会了以后就是模板题……莫队算法学的还是太少了。

3.简要题解

T1：咕。

T2：

一句话题意：求n个点竞赛图期望最长链的长度。

设\(ans\)为答案，\(f\)为i个点只有1个scc的竞赛图个数，\(g\)表示i个点的竞赛图个数。

\[f_i=g_i-\sum_{j=1}^{i-1}g[j]*f[i-1]*C_{i}^{j} \]

\[ans_0=1 \]

\[ans_i=\sum_{j=1}^{i}(ans[i-j]+g[i-j])*f_j*C_{i}^{j} \]

T3：

BZOJ3757

树上莫队模板题，不赘述。

4.总结

1.学习策略

一些题可以没时间做先放放，但是算法模板，重要的性质、思想这类的东西不能不记，复习旧的学习新的都是。

题做的少可能手生，但是不会就真的一点都写不动。

今天考到竞赛图，exgcd，都做不动，但是都不是完全不会。

AC自动机，crt，点分治……这些东西都忘了差不多了，省选前还是需要做一些比较经典的题回顾回顾的，不能学了前面忘了后面。

2.竞赛图

做竞赛图计数问题时，一般就是求最长链或者scc个数这类的。

竞赛图最好的性质就是缩完点是链，也就是说，在i-1个scc的竞赛图上插一个只有1个scc的竞赛图是可以得到有i个scc的竞赛图的，不用考虑新增的边连通性的问题。

竞赛图的dp一般就是通过以上性质得到转移式的，所以这个性质很重要。

含有大于1个scc的竞赛图可以dp，但是只有1个scc的竞赛图往往不具有递推的性质，所以经常需要用全集-补集的方法特殊处理1的情况。