讲课：二分图理论与模拟费用流

增广路

Hall 定理

一个二分图存在完美匹配（每个左部点都匹配了一个右部点）当且仅当，对于任意左部点构成的集合 \(W\)，它的邻域 \(N_G(W)\) 总是比它本身大。

推论：二分图的最大匹配为 \(|X|-\max\limits_{W\subseteq X}(|W|-|N_G(W)|)\)，\(X\) 为左部。

一般用于一些特殊二分图的最大匹配计算。

例题：

• Exhausted?
• Chests and Keys
• Pair

匹配的性质

最小覆盖点数=最大匹配数，最小边覆盖=最大独立集=总节点数-最大匹配数

例题：

• Asteroids
• Muddy Fields

模拟费用流/带悔贪心

例题：

• Mole Tunnels
• k-Maximum Subsequence Sum
• 序列
• 黄金矿工

题单：蒟蒻lndjy的反悔贪心题单

参考：NOI 一轮复习 I：二分图网络流

Dilworth 定理

最小链划分=最长反链

例题：

• 祭祀
• Birthday
• 组合数学

参考：Dilworth 学习笔记