最大子序和

前言

清明假期马上就要结束了，小熊给大家带来一道笔试和面试中与「动态规划」相关的常考的简单题，这道题被字节、微软、亚马逊和苹果等各大互联网大厂作为笔试题。

这道题就是 Leetcode 的第 53 题-最大子序和，了解「动态规划」的童鞋，在看到最大两个字的时候，很容易就会想到用「动态规划」去解答，因为涉及到「最优解」的问题，一般都可以通过动归去做。本题小熊提供「动态规划」的思路供大家参考，希望对大家有所帮助。

题目

 

 

解题思路

本题是一道典型的「动态规划」的题，因此采用动态规划的策略去解答。

「定义状态」 dp[i]：以 nums[i]结尾(包含 nums[i])的连续子数组的最大和。

「状态转移方程」 dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])，其中 i >= 1，当 dp[i - 1] < 0 时，抛弃当前的和最大的连续子数组，从 nums[i] 开始，重新寻找和最大的连续子数组，否则，将 nums[i] 加入到当前的和最大的连续子数组。

「边界条件」 dp[0] = nums[0]。

「举栗」

以数组 nums[i] = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 为例子，如下图示。

 

 

从上图可以看出：dp[0] = nums[0] = -1 < 0，由于当前的连续子数组的最大和小于零，因此应该丢弃 num[0]，从 nums[1] = 1 开始重新寻找和最大的连续子数组。

寻找和最大的连续子数组的完整动图，如下所示：

 

由状态转移方程可知，dp[i] 只与 dp[i - 1] 和 nums[i] 相关，因此没必要再去定义 dp，直接复用 nums 即可。

Show me the Code

「C++」

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    int maxSum = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
        nums[i] = max(nums[i - 1], 0) + nums[i];
        maxSum = max(maxSum, nums[i]);
    }

    return maxSum;
}

「Java」

int maxSubArray(int[] nums) {
    int maxSum = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
        nums[i] = Math.max(nums[i - 1], 0) + nums[i];
        maxSum = Math.max(maxSum, nums[i]);
    }

    return maxSum;
}

「Python3」

def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
    for i in range(1, len(nums)):
        nums[i] = max(nums[i - 1], 0) + nums[i]
    
    return max(nums)

「Golang」

func maxSubArray(nums []int) int {
    maxSum := nums[0];
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        if nums[i - 1] > 0 {
            nums[i] += nums[i - 1]
        }

        if nums[i] > maxSum {
            maxSum = nums[i]
        }
    }

    return maxSum;
}

「C」

int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
    int maxSum = nums[0];
    for (int i = 1; i < numsSize; ++i) {
        nums[i] = fmax(nums[i - 1] + nums[i], nums[i]);
        maxSum = fmax(maxSum, nums[i]);
    }

    return maxSum;
}

「复杂度分析」

时间复杂度：「O(n)」，其中 n 是数组的长度，需要遍历一遍数组。

空间复杂度：「O(1)」，未开辟额外的存储空间。