杨辉三角形从左下角加到右上角等于斐波那契数的证明

用数学公式来表示我们所需要证明的东西：\(f_{n}=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor-1} C_{n-i-1}^{i}\)
前置知识：

\[1.当m>n时C_{n}^{m} \equiv 0 \]

\[2.C_{n}^{i}+C_{n}^{i-1}=C_{n+1}^{i} \]

第二个前置知识的证明：

\[\begin{aligned} &\frac{n!}{m! \times (n-m)!}+\frac{n!}{(m-1)! \times (n-m+1)!}&\\ =&\frac{n!}{(m-1)! \times (n-m)!} \times (\frac{1}{m} + \frac{1}{n-m+1})&\\ =&\frac{(n+1)!}{m! \times (n-m+1)!}&\\ =&C_{n+1}^{i}& \end{aligned} \]

证明如下：

设\(n \geq 3\)，则有：

\[f_n=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor - 1}C_{n-i-1}^{i} \]

\[f_{n-1}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1}C_{n-i-2}^{i} \]

\[f_{n-2}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor - 1}C_{n-i-3}^{i} \]

我们将\(f_{n-1}\)和\(f_{n-2}\)相加：

\[\begin{aligned} &f_{n-1}+f_{n-2}=\sum_{i=0}^{n-2}C_{n-2-i}^{i}+\sum_{i=0}^{n-3}C_{n-3-i}^{i}& \\ =&C_{n-2}^{0}+C_{n-3}^{1}+C_{n-4}^{2}+……+C_{1}^{n-3}+C_{0}^{n-2}+C_{n-3}^{0}+C_{n-4}^{1}+……+C_{1}^{n-4}+C_{0}^{n-3}&\\ =&C_{n-2}^{0}+(C_{n-3}^{1}+C_{n-3}^{0})+(C_{n-4}^{2}+C_{n-4}^{1})+……+(C_{1}^{n-3}+C_{1}^{n-4})+(C_{0}^{n-2}+C_{0}^{n-3})&\\ =&C_{n-2}^{0}+\sum_{i=1}^{n-2}C_{n-i-1}^{i}&\\ =&C_{n-1}^{0}+\sum_{i=1}^{n-2}C_{n-i-1}^{i}+C_{0}^{n-1}&\\ =&\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1-i}^{i}=f_n& \end{aligned} \]

因此我们可以得知\(f_{n}=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor-1} C_{n-i-1}^{i}\)为斐波那契数列的第n项，且f(1)=f(2)=1。