Luogu P3990 [SHOI2013]超级跳马

矩阵优化DP

原题链接

矩阵乘法几乎不会，我瞎扯证明了1个小时才差不多搞明白怎么弄。

1. \(DP\)

   设\(\large dp_{i,j}\)表示跳到第\(i\)行第\(j\)列的方案数。

   于是有了一个初步的状态转移方程（假设\(i,j\)都不会越界）：

   \(\large dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i,j-1}+dp_{i+1,j-1}+dp_{i-1,j-3}+dp_{i-1,j-5}+...\ ...\)

   很明显，它复杂度高，不方便求。

   然后手玩一下你就会发现后面那一大串（\(dp_{i-1,j-3}+...\ ...\) 以及往后的）跟\(dp_{i,j-2}\)相等。

   证明：

   首先，奇数+偶数（2）=奇数，小学知识

   因为马每次只能横向跳奇数格，所以能一次性达到\((i\ ,\ j-2)\)的点同时也能一次性达到\((i\ ,\ j)\)，且没有其他点（出去第\(j-2\)列上的三个点）能到达\((i\ ,\ j)\)。

   然后状态转移方程就变成了

   \(\large dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i,j-1}+dp_{i+1,j-1}+dp_{i,j-2}\)

   复杂度是$ O(nm)$的，T飞。

2. 矩阵优化：

   转移矩阵的大小与\(n\)有关。

   如果\(n=3\)，转移矩阵是这样哒：

   

   然后矩阵快速幂求一下就好了。

3. 计算答案

   你以为怎么着就结束了吗？

   其实，还有一个细节问题没有注意到：

   当\(i=1,j=3\)时，回归转移方程式：

   \(\large dp_{1,3}=dp_{1,2}+dp_{1,2}+dp_{1,1}\)

   然而这时候\(dp_{1,1}\)却并不是由前面的点转移过来的，而是特殊初值！！！

   也就是说对于\(dp_{i,j}\)，答案都恰好会多算\(dp_{i,j-2}\)（这里如果不明白可以自己手玩几组小数据）。

   综上所述，记录答案时，应该求\(dp_{n,m}-dp_{n,m-2}\)。

   当然也可以求\(dp_{n,m-1}+dp_{n-1,m-1}\)。

多说一句：为何看着各位大佬的矩阵初值都是对角线为1啊，光把\(dp_{1,1}\)初始化为1，计算答案时只用第一行不就行吗？虽然没多大区别

对了，答案别忘了%30011。

code（没写注释，个人认为上面写的比较详细了）：

#include<bits/stdc++.h> 
#define p 30011
using namespace std;
int read()
{
	int xsef = 0,yagx = 1;char cejt = getchar();
	while(cejt < '0'||cejt > '9'){if(cejt == '-')yagx = -1;cejt = getchar();}
	while(cejt >= '0'&&cejt <= '9'){xsef = (xsef << 1) + (xsef << 3) + cejt - '0';cejt = getchar();}
	return xsef * yagx;
}
int n,m;
struct node{
	int a[110][110];
	node(){
		memset(a, 0, sizeof(a));
	}
}b,c,d;
node operator * (node x, node y){
	node z;
	for(int i = 1;i <= n * 2;i++){
		for(int j = 1;j <= n * 2;j++){
			for(int k = 1;k <= n * 2;k++){
				z.a[i][j] = (z.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) % p;
			}
		}
	}
	return z;
}
void build(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i!=1)
				b.a[i][i-1]=1;
			b.a[i][i]=1;
			if(i!=n)
				b.a[i][i+1]=1;
		}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b.a[i][i+n]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b.a[i+n][i]=1;
	}
}
void ksm(){
	while(m){
		if(m&1)
			c=c*b;
		b=b*b;
		m>>=1;
	}
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	build();
	d = b;
	m-=2;
	for(int i=1;i<=n*2;i++)
		c.a[i][i]=1;
	ksm();
	int ans = -c.a[1][n+n];
	c=c*d;
	ans += c.a[1][n];
	printf("%d",ans + p % p);
	return 0;
}