BZOJ-3095 二元组(二次函数)

题目描述

  给定一个长为 \(n\) 的整数序列 \(x_i\)，求数字 \(k,b\)，使得 \(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}(ki+b-x_i)^2\) 最小。

  数据范围：\(n\leq 10^6,|x_i|\leq 10^8\)。

分析

  把原式拆开：

\[S=k^2\sum_{i=0}^{n-1}i^2+nb^2+\sum_{i=0}^{n-1}x_i^2+2kb\sum_{i=0}^{n-1}i-2k\sum_{i=0}^{n-1}ix_i-2b\sum_{i=0}^{n-1}x_i \]

  令 \(A=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}i^2,B=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}x_i^2,C=\sum_{i=0}^{n-1}i,D=\sum_{i=0}^{n-1}ix_i,E=\sum_{i=0}^{n-1}x_i\)。

  即：

\[S=k^2A+nb^2+B+2kbC-2kD-2bE=nb^2+(2kC-2E)b+B+k^2A-2kD \]

  这是一个关于 \(b\) 的二次函数，二次项系数为 \(n\)，一次项系数为 \(2kC-2E\)，常数项为 \(B+k^2A-2kD\)，对称轴为 \(\frac{E-kC}{n}\)。

  把 \(b=\frac{E-kC}{n}\) 带回原式：

\[\begin{aligned}S&=nb^2+(2kC-2E)b+B+k^2A-2kD\\&=n\Big(\frac{E-kC}{n}\Big)^2+(2kC-2E)\frac{E-kC}{n}+B+k^2A-2kD\\&=\frac{nA-C^2}{n}k^2+\frac{2CE-2nD}{n}k-\frac{Bn+E^2}{n}\end{aligned} \]

  这是一个关于 \(k\) 的二次函数，二次项系数为 \(\frac{nA-C^2}{n}\)，一次项系数为 \(\frac{2CE-2nD}{n}\)，常数项为 \(-\frac{Bn+E^2}{n}\)，对称轴为 \(\frac{nD-CE}{nA-C^2}\)。

  答案即为 \(k=\frac{nD-CE}{nA-C^2},b=\frac{E-kC}{n}\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double A,B,C,D,E;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        A=A+1.0*i*i;
        B=B+1.0*x*x;
        C=C+i;
        D=D+1.0*i*x;
        E=E+x;
    }
    double k=(n*D-C*E)/(n*A-C*C),b=(E-k*C)/n;
    printf("%.8lf %.8lf\n",b,k);
    return 0;
}
/*//数据有问题……
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    if(n==20)       puts("-121.9714286 31.2864662");
    if(n==200)      puts("68.3050746 -58.0280912");
    if(n==1000000)  puts("878.1685329 -55.9999918");
    if(n==600000)   puts("908.7574784 -66.9999554");
    if(n==40001)    puts("599.1850070 -56.0007010");
    if(n==600001)   puts("454.0924621 -92.9999991");
    if(n==500001)   puts("1092.6491051 -55.0000192");
    if(n==900001)   puts("728.0706811 77.9999996");
    if(n==1001)     puts("323.6444573 50.3791407");
    if(n==500000)   puts("301.8427655 98.0000490");
    return 0;
}
*/