BZOJ-1614 [Usaco2007 Jan]Telephone Lines架设电话线(SPFA+有后效性的dp)

题目描述

  在 \(n(1\leq n\leq 1000)\) 个点，\(m(1\leq m\leq 10000)\) 条边的无向图上求出一条从点 \(1\) 到点 \(n\) 的路径，使路径上第 \(k+1\) 大的边权尽量小。

分析

  设 \(dp[x][j]\) 为从点 \(1\) 到点 \(x\)，途中已经指定了 \(j\) 条边免费时，经过的路径上最大边权的最小值（即选择一条从 \(1\) 到 \(x\) 的路径，使路径上第 \(j+1\) 大的边权尽量小）。如果有一条从点 \(x\) 到点 \(y\) 长度为 \(z\) 的无向边，则应该用 \(\max(dp[x][j],z)\) 更新 \(dp[y][j]\) 的最小值，表示不在边 \((x,y,z)\) 上使用免费服务；然后用 \(dp[x][j]\) 更新 \(dp[y][j+1]\) 的最小值，表示在边 \((x,y,z)\) 上使用免费服务。

  动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图，遍历顺序就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的"状态"，图中的边则对应状态之间的"转移"，转移的选取就是动态规划中的"决策"。

  刚才设计的状态转移显然是有后效性的。在有后效性时，一种解决方案就是利用迭代思想，借助 \(\text{SPFA}\) 算法进行动态规划，直至所有状态收敛（不能再更新）。

  从最短路的角度去理解，图中的节点也不仅限于 "整数编号"，可以扩展到二维，用二元组 \((x,j)\) 代表一个节点，从 \((x,j)\) 到 \((y,j)\) 有长度为 \(z\) 的边，从 \((x,j)\) 到 \((y,j+1)\) 有长度为 \(0\) 的边。$dp[x][j] $ 表示从起点 \((1,0)\) 到节点 \((x,j)\)，路径上最长的边最短是多少，这是 \(n\times m\) 个点，\(j\times m\) 条边的广义单源最短路问题，使用 \(\text{SPFA}\) 算法，对于非特殊构造的数据，时间复杂度为 \(O(knm)\)，其中 \(k\) 为一个随机常数。

代码

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1010,M=10010,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,k;
int head[N*N],dist[N*N],num_edge;
bool vis[N*N];
queue<int> Q;
struct Edge
{
    int to;
    int dis;
    int Next;
}edge[N*M];
void add_edge(int from,int to,int dis)
{
    edge[++num_edge].to=to;
    edge[num_edge].dis=dis;
    edge[num_edge].Next=head[from];
    head[from]=num_edge;
}
void SPFA()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[1]=0;
    vis[1]=1;
    Q.push(1);
    while(!Q.empty())
    {
        int x=Q.front();
        Q.pop();
        vis[x]=0;
        for(int i=head[x];i;i=edge[i].Next)
        {
            int y=edge[i].to,z=edge[i].dis;
            if(dist[y]>max(dist[x],z))
            {
                dist[y]=max(dist[x],z);
                if(!vis[y])
                {
                    Q.push(y);
                    vis[y]=1;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        for(int j=0;j<=k;j++)
        {
            add_edge(x+j*n,y+j*n,z);
            add_edge(y+j*n,x+j*n,z);
        }
        for(int j=0;j<=k-1;j++)
        {
            add_edge(x+j*n,y+(j+1)*n,0);
            add_edge(y+j*n,x+(j+1)*n,0);
        }
    }
    SPFA();
    if(dist[(k+1)*n]==INF)
        puts("-1");
    else
        cout<<dist[(k+1)*n]<<endl;
    return 0;
}