高概作业05

作业 4：数据科学中的概率论

题目 1（引自 \cite[Ex. 5.10.17]{R14}）

假设 \(F\) 和 \(G\) 是两个分布函数，在区间 \((a, b)\) 上没有共同的不连续点。证明：

\[\int_{(a, b]} G(x) F(dx) = F(b) G(b) - F(a) G(a) - \int_{(a, b]} F(x) G(dx). \]

如果 \(F\) 和 \(G\) 有共同的不连续点，则该公式可能会失效。如果 \(F\) 和 \(G\) 是绝对连续的，且密度函数分别为 \(f\) 和 \(g\)，尝试通过对积分上限进行微分来证明该公式。（为什么可以微分？）

证明

待补充。

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题目 2（引自 \cite[Ex. 5.10.22]{R14}）

(a) 设 \(X\) 是一个正随机变量，应用 Fubini 定理于 \(\sigma\)-有限测度，证明：

\[E(X) = \int_{[0, \infty)} P(X > t) dt. \]

(b) 检查对于任意 \(\alpha > 0\)，是否成立：

\[E(X^\alpha) = \alpha \int_{[0, \infty)} x^{\alpha - 1} P(X > x) dx. \]

(c) 如果 \(X \geq 0\) 且存在某个 \(\delta > 0\) 和 \(0 < \beta < 1\) 使得：

\[P(X > n\delta) \leq (const) \beta^n, \]

那么 \(E(X^\alpha) < \infty\)，对于 \(\alpha > 0\)。

(d) 如果 \(X \geq 0\) 且存在某个 \(\delta > 0\) 使得 \(E(X^\delta) < \infty\)，那么：

\[\lim_{x \to \infty} x^\delta P(X > x) = 0. \]

(e) 设 \(X \geq 0\) 的分布为重尾分布，且满足：

\[P(X > x) = \frac{const}{x \log x}, \quad x \geq 17. \]

证明 \(E(X) = \infty\)，但 \(x P(X > x) \to 0\) 当 \(x \to \infty\) 时。

(f) 如果 \(E(X^2) < \infty\)，则对于任意 \(\eta > 0\)，

\[\lim_{x \to \infty} x P(|X| > \eta \sqrt{x}) = 0. \]

证明

待补充。

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题目 3（引自 \cite[Ex. 5.10.24]{R14}）

设 \(X_1, X_2\) 是独立同分布的随机变量，且服从 \(N(0, 1)\) 正态分布。定义

\[Y_n = \frac{X_1}{\frac{1}{n} + |X_2|}. \]

应用 Fubini 定理验证：

\[E(Y_n) = 0. \]

注意，当 \(n \to \infty\) 时，

\[Y_n \to Y := \frac{X_1}{|X_2|} \]

并且 \(Y\) 的期望不存在，因此这是一个随机变量收敛但均值不收敛的例子。

证明

待补充。

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题目 4（引自 \cite[Ex. 5.10.25]{R14}）

在期望不一定存在的情况下，以下是一种定义中心值的建议。假设 \(F(x)\) 是一个严格递增且连续的分布函数。例如，\(F\) 可以是标准正态分布函数。定义

\[g : \mathbb{R} \mapsto (-1, 1) \]

为

\[g(x) = 2(F(x) - \frac{1}{2}). \]

对于随机变量 \(X\)，定义 \(\phi : \mathbb{R} \mapsto (-1, 1)\) 为：

\begin{equation}
\phi(y) = E(g(X - y)). \tag{\(*\)}
\end{equation}

随机变量 \(X\) 相对于 \(g\) 的中心值，记为 \(\gamma(X)\)，定义为满足

\[\phi(y) = 0 \]

的解。

(a) 证明 \(\phi(y)\) 是 \(y\) 的连续函数。

(b) 证明：

\[\lim_{y \to \infty} \phi(y) = -1, \]

\[\lim_{y \to -\infty} \phi(y) = 1. \]

(c) 证明 \(\phi(y)\) 是非增函数。

(d) 证明 \(\gamma(X)\)，即 \(\phi(y) = 0\) 的解，是唯一的。

证明 \(\gamma(X)\) 具有期望的一些性质，即：

(e) 对于任意 \(c \in \mathbb{R}\)，

\[\gamma(X + c) = \gamma(X) + c. \]

(f) 现在假设 \((*)\) 中的 \(g\) 为 \(g : \mathbb{R} \mapsto (-\pi/2, \pi/2)\)，定义为：

\[g(x) := \arctan(x), \]

因此 \(g(-x) = -g(x)\)。证明：

\[\gamma(-X) = -\gamma(X). \]

证明

待补充。

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参考文献

1. Resnick, Sidney I. A Probability Path. 1st ed., Birkhäuser Boston, MA, 2013. Modern Birkhäuser Classics, Springer Science, Business Media New York, 2014. Print.
2. Klenke A. Probability Theory: A Comprehensive Course. 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2020.