概率论作业3

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练习 1 ([1, 练习 3.4.18])

（耦合） 如果 \(X\) 和 \(Y\) 是定义在 \((\Omega, \mathcal{B})\) 上的随机变量，证明

\[\sup_{A \in \mathcal{B}} |P[X \in A] - P[Y \in A]| \leq P[X \neq Y]. \]

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证明：

对于任意事件 $ A \in \mathcal{B} $，考虑指示函数 $ 1_{X \in A} $ 和 $ 1_{Y \in A} $。注意到对于每个样本点 $ \omega \in \Omega $：

\[|1_{X(\omega) \in A} - 1_{Y(\omega) \in A}| \leq 1_{X(\omega) \neq Y(\omega)}. \]

这是因为：

• 如果 $ X(\omega) = Y(\omega) $，则 $ 1_{X(\omega) \in A} = 1_{Y(\omega) \in A} $，因此差的绝对值为零。
• 如果 $ X(\omega) \neq Y(\omega) $，则 $ |1_{X(\omega) \in A} - 1_{Y(\omega) \in A}| \leq 1 $，且 $ 1_{X(\omega) \neq Y(\omega)} = 1 $。

对上述不等式取期望，得到：

\[\begin{align*} |P[X \in A] - P[Y \in A]| &= |E[1_{X \in A}] - E[1_{Y \in A}]| \\ &= |E[1_{X \in A} - 1_{Y \in A}]| \\ &\leq E\left[|1_{X \in A} - 1_{Y \in A}|\right] \\ &\leq E[1_{X \neq Y}] \\ &= P[X \neq Y]. \end{align*} \]

由于上述不等式对任意 $ A \in \mathcal{B} $ 都成立，因此：

\[\sup_{A \in \mathcal{B}} |P[X \in A] - P[Y \in A]| \leq P[X \neq Y]. \]

证毕。

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练习 2 ([1, 练习 3.4.22])

设 \(\{X_n, n \geq 1\}\) 是定义在概率空间 \((\Omega, \mathcal{B}, P)\) 上的随机变量，并定义对应的随机游动为

\[S_0 = 0, \quad S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i, \quad n \geq 1. \]

令 \(\tau := \inf \{n > 0 : S_n > 0\}\) 为第一次上升阶梯时间。证明 \(\tau\) 是随机变量。假设已知 \(\tau(\omega) < \infty\) 对所有 \(\omega \in \Omega\) 都成立。证明 \(S_{\tau}\) 是随机变量。

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证明：

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练习 3 ([1, 练习 4.6.13])

设 \(\{X_n, n \geq 1\}\) 是独立同分布随机变量，且 \(P[X_1 = 1] = p = 1 - P[X_1 = 0]\)。计算模式 1, 0, 1 无限次出现的概率。
提示： 令

\[A_k = [X_k = 1, X_{k+1} = 0, X_{k+2} = 1] \]

并考虑 \(A_1, A_4, A_7, \dots\)。

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证明：

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练习 4 ([1, 练习 4.6.14])

在一列独立的伯努利随机变量 \(\{X_n, n \geq 1\}\) 中，假设

\[P[X_n = 1] = p = 1 - P[X_n = 0], \]

令 \(A_n\) 表示在第 \(2^n\) 到第 \(2^{n+1}\) 次试验之间发生 \(n\) 个连续的 1 的事件。如果 \(p \geq 1/2\)，则无限多次发生 \(A_n\) 的概率为 1。
提示：证明如下形式的结果：

\[P(A_n) \geq 1 - (1 - p^n)^{2^n / 2n} > 1 - e^{-(2p)^n / 2n}. \]

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证明：

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练习 5 ([1, 练习 4.6.19])

给出一个简单的例子，说明两个随机变量在一种概率测度下是独立的，但在另一种概率测度下是相关的。

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证明：

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