『组合数学』课程学习笔记01——计数的基本原理

计数的基本原理

选择正确的方法会导致正确的结果

加法原则

知其然，不如知其所以然

如果我有两个骰子，一个绿色一个紫色，我有多少种方式让它们掷出后求和为7或11？

• 求和为7的情况：

(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)

• 求和为11的情况：

(5,6),(6,5)

因此，我们有6种方式使得求和为7，有2种方式使得求和为11。共有6+2=8种方式让它们掷出后求和为7或11。

加法原则：如果我有两个任务，任务A可以用m种方式执行，任务B可以用n种方式执行，并且这两个任务不能同时执行（不相交），那么任务A或B可以有m+n种执行方式。

例1：在美国某地竞选期间，有八名共和党候选人和五名民主党候选人被提名为学校董事会主席。
a)如果总统要从中挑选一名出来，那么最终的被选人有多少种可能？

解：8+5=13种

练习1：一个女人决定今天去一家商店购物，要么去城北，要么去城南。如果她去城北，她将在一家商场、一家家具店或一家珠宝店购物。如果她去城南，她将在一家服装店或鞋店购物。一共有多少家她可能去的商店？

解：3+2=5种

练习2：一个计算机科学教师有两个同事。一位同事有三本关于算法分析的教科书，另一位同事有五本关于算法分析教科书。如果n表示该教师可以借到的关于这个主题的不同书籍的最大数量，请给出n的可能值。

解：\(5 \leqslant n \leqslant 8,n \in Z\)

乘法原则

回顾例1，让我们看一下问题的b部分。

例1：在一次地方竞选中，有八名共和党候选人和五名民主党候选人被提名为学校董事会主席。
b) 如果总统要从中一对候选人（两党各一人），那么在最终的选举中存在多少种不同的可能。

解：我们可以用树状图来模拟结果，但我们不想知道有哪些选择，只想知道有多少种选择。

由于共和党有8种可能性，民主党有5种可能性，我们可以通过以下方式找到可能性的数量

\(8 \times 5 = 40\)种

乘法原则：如果任务A可以用m种方式执行，任务B可以用n方式执行，那么任务A和B可以用m·n种方式执行。

例2：一个学生证是由3个字母后加上2个数字组成的。

a. 有多少个可能的ID存在？

解：\(26 \times 26\times 26\times 10\times 10=1757600\)

b. 如果不允许有重复的字母或数字，有多少个ID是可能的？

解：\(26 \times 25\times 24\times 10\times 9=1404000\)

c. 有多少个学生证的 "A "是偶数的？

解：

• 带有2个A
  AA__##：\(25\times 10\times 10=2500\)
  A__A##：\(25\times 10\times 10=2500\)
  __AA##：\(25\times 10\times 10=2500\)

• 带有0个A
  _____##：\(25 \times 25\times 25\times 10\times 10=1562500\)

\(2500+2500+2500+1562500=1570000\)

对立问题

有时，回答相反的问题更容易，因为寻找每一种可能性都太耗费时间，而且有太多的可能情况是重叠的。

例2：一个学生证是由3个字母和两个数字组成的。
d. 有多少学生的ID有一些重复的地方？

解：考虑这个问题的对立问题，我们可以找到没有重复的可能性的数量，然后从总数中减去。有重复的ID=样本空间-没有重复的ID

\(26^3 \cdot 10^2-26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 10 \cdot 9=353600\)

练习3：确定6位数的中整数（第一位不为零）的数量。
a. 没有一个数字可以重复
解：\(9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5=136080\)
b. 数字可以重复
解：\(9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=900000\)
c. 没有数字可以重复，偶数
解：\((9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 1)_{末尾为0}+(8 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4)_{末尾为2,4,6,8}=68800\)
d. 数字可以重复，偶数
解：\(9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5=450000\)
e. 没有数字可以重复，可以被5整除的数字
解：\((9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 1)_{末尾为0}+(8 \times 8 \times 7 \times 6 \times 1)_{末尾为5}=28560\)
f. 没有数字可以重复，可以被4整除的数字
解：最后两位数必须被4整除，包含0的一组有\((04,08,20,40,60,80)\)共6个,不含0的一组有\((12,16,24,28,36,44,48,52,56,64,68,72,76,84,92,96)共16个\)

\(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 6+7 \times 7 \times 6 \times 5 \times 16=33600\)