2025刷题计划--根号算法

简介

对于根号算法，大概有以下几种：
$\quad$1.根号分治

$\quad$2.分块

$\quad$3.莫队

首先对于根号分治，这是一种非常巧妙地算法，他的本质就是将两种非常暴力的算法结合起来。直接说不太好说，下面举一个例子，（引用我看的博客
\(\quad\) \(eg:CF1207F Remainder Problem：\)
\(\quad\)给你一个长度为\(5*10^5\)的序列，初始值为\(0\),完成\(q\)次操作
\(\quad\)\(\quad\)1 X Y:将将下标为\(x\)的位置的值加上\(y\)
\(\quad\)\(\quad\)2 X Y:询问所有下标模\(x\)的结果为\(y\)的位置的值之和。
对于这种题，我们很容易想到一种暴力，就是模拟。他的修改的时间复杂度为\(O(1)\),而他的查询复杂度最差为\(O(nq)\)。
而另一种暴力，则是开一个二维数组\(sum[i][j]\)表示下标模\(i\)的结果为\(j\)。对于修改操作时间为\(O(nq)\),查询复杂度为\(O(1)\),在这个时候，我们发现这两个时间复杂度为两种极端，一种修改复杂度很大，而另一种查询的复杂度很大，这时候如果我们考虑一种阈值，小于阈值的时候我们考虑第二种暴力，大于阈值的时候我们考虑第一种暴力，此时我们设阈值为\(x\),此时时间复杂度为\(O(q(b+\frac{n}{b}))\),而这时，我们利用基本不等式，我们可以得知\(b=\sqrt{n}\)的时候，我们可以算出时间复杂度为\(O(q\sqrt{n})\).时间复杂度正确，可以通过。

例题&练习

T1 CF1806E Tree Master

这道题就是一个比较典的题，对于每一次的询问，首先我们可以发现，当向上找父亲时，到他们的\(Lca\)时，都是加自己的平方，所以我们可以通过进行前缀和优化，而且可以进行记忆化搜索，但是直接进行记忆化搜索空间就开不下，对于一层数量少于\(500\)个，我们可以直接记忆化，而对于大于等于\(500\)个,直接用暴力跳父亲即可

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
int n,q;
const int N=1e5+5;
int a[N],fa[N],sum[N],dep[N],num[N],s[N],f[N][500];
int dfs(int x,int y){
	if(x==y)
		return sum[x];
	if(num[dep[x]]<500){
		if(f[x][s[y]])
			return f[x][s[y]];
		return f[x][s[y]]=dfs(fa[x],fa[y])+a[x]*a[y];
	}
	else
		return dfs(fa[x],fa[y])+1ll*a[x]*a[y];
} 
signed main(){
	cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=2;i<=n;i++)
		cin>>fa[i];
	fa[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum[i]=sum[fa[i]]+a[i]*a[i];
		dep[i]=dep[fa[i]]+1;
		s[i]=++num[dep[i]];
	}
	while(q--){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		cout<<dfs(x,y)<<"\n";
	}
}