反演学习小计

参考资料

炫酷反演魔术，打开了我新世界的大门，原来这些反演都是一个东西！！！

二项式反演

简单的错排递推式

$\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i(n-i)!$

• 即枚举每一次至少几个位置不合法，最后容斥出0个位置不合法的方案。
• 考虑恰好有m(m>0)个位置不合法的方案，对于一种m个位置的选择来说，它会在枚举至少0…m-1的时候被算一次。即$\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i=(1-1)^m=[m=0]$，最后对于m>0的贡献都为0，只有m=0的贡献为1，即我们要求的答案。

式子

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}C_n^ig(i)$
$g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_n^if(i)$

推导：

• 首先有
  $\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i=\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i*1^{n-i}=(-1+1)^n=[n=0]$
• 然后
  $g(n)=\sum_{i=0}^n[n-i=0]*C_n^ig(i)$
  $=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^jC_{n-i}^j*C_n^ig(i)$
  $=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^jC_{n-j}^i*C_n^jg(i)$
  $=\sum_{j=0}^n(-1)^jC_n^j\sum_{i=0}^{n-j}C_{n-j}^ig(i)$
  $=\sum_{j=0}^n(-1)^jC_n^jf(n-j)$
  $=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_n^if(i)$

莫比乌斯反演

$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$
$g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)$

推导

• 注意到对于二项式反演，我们有一条式子$\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i=[n=0]$
• 类比莫比乌斯反演，我们也可以构造一个容斥系数，既然之前是求和的关系，现在我们要考虑因数的关系，所以自然就有了这个$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$，后面我们会发现$\mu(d)$的求法。
• 同上，我们也可以这样子推导：
  $g(n)=\sum_{d|n}[\frac{n}{d}=1]*g(d)$
  $=\sum_{d|n}\sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)*g(d)$
  $=\sum_{k|n}\mu(k)*\sum_{d|\frac{n}{k}}g(d)$
  $=\sum_{k|n}\mu(k)f(\frac{n}{k})$
  $=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)$
• 妙啊，殊途同归。
• 实际上对于以下的莫比乌斯反演的变式也是一样的推法。
  $f(n)=\sum_{n|d}g(d)$
  $g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{n}{d})f(d)$

转移的矩阵表示

• 我们可以把转移看作矩阵乘法。
• 相当于是[1,n]矩阵乘上一个[n,n]的矩阵。
• 那么反演不就是矩阵求逆吗！

子集反演

一道简单题

• 给出$a[i],b[i](0<=i<2^n)$，求$c[k]=\sum_{i |j=k}a[i]*b[j]$。
• FWT一波 。考虑比较容易计算$c'[S]=\sum_{T\subseteq S}c[T]$
• $c'[S]=\sum_{i\subseteq S}a[i]*\sum_{j \subseteq S}b[j]$。
• 然后再反演一波得到c？？？
• 实际上是c的高维前缀和为c’，倒着差分回去。。。
• 但是用这个推式子可不行，于是就有了下面的反演。

正经的式子

$f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)$
$g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S-T|}f(T)$

推导

• 同上和上上，我们也可以来一个容斥的系数
  $\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}=[S=0]$
• 和二项式反演的意义是一样的，组合数就是在S中选一个|T|=i的方案。
• 然后再再再用相同的方法。
  $g(S)=\sum_{T\subseteq S}[S-T=0]g(T)$
  $=\sum_{T\subseteq S}\sum_{R\subseteq S-T}(-1)^{|R|}g(T)$
  $=\sum_{R\subseteq S}(-1)^{|R|}\sum_{T\subseteq S-R}g(T)$
  $=\sum_{R\subseteq S}(-1)^{|R|}f(S-R)$
  $=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S-T|}f(T)$
• 妙啊！
• 或者也可以这样：
  $f(S)=\sum_{S\subseteq T}g(T)$
  $g(S)=\sum_{S\subseteq T}(-1)^{|T-S|}f(T)$

更神奇的多重子集反演

• 定义$\mu(S)$，如果S中有重复元素就是0，否则是$(-1)^{|S|}$,因为没有重复元素，所以$\sum_{T\subseteq S}\mu(T)=[S=0]$，跟上面是一样的。

• 就有$f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)$，$g(S)=\sum_{T\subseteq S}\mu(S-T)f(T)$

• 如果将每一个元素看作质因数，那这不就是莫比乌斯反演吗！！！

卷积

• FFT也是反演？？？（雾）
• 其实反演就是将$f$分成两个独立的部分，例如$[d|gcd(i,j)]->[d|i][d|j]$
• 然后再把他们合起来。

总结

• 反演实际上就是一种容斥（所以上面相当于是在证明容斥为什么是对的）
• 对于推式子来说，反演有很大的作用。
• 但是还是要根据实际的题目而论。
• 之后做到好题再记录下来吧。