树上主席树 + LCA SPOJ - COT【Count on a tree】

树上主席树 + LCA SPOJ - COT【Count on a tree】

https://cn.vjudge.net/contest/304073#problem/B

题意

给定 n 个数、m 次询问以及 n-1 条边（保证建立成一棵树），查询树上 节点x 到 节点y 的路径中第 K 小的结点值是多少。

分析

这题还是花了不少功夫的，树上虽然看上去恐怖，其实做起来和普通主席树没太大区别。

• 普通主席树：每次建立都是基于前一个进行的。
• 树上主席树：每次建立都是基于父节点进行的。

我们可以发现这棵主席树是包括当前节点的所有祖先结点的。需要注意的是查询的时候不是减去两次到 \(lca(x,y)\) 的值，因为公共节点也在路径之中，所以在查询的时候：

\[sum = T[T[x].l].sum + T[T[y].l].sum - T[T[z].l].sum - T[T[fz].l].sum \]

sum 用于和 k 值进行比较，其中 \(z = lca(x, y)\) ，\(fz = pre[z]\)。

然后 lca 的求法我用的是倍增，写起来相对比较好理解，不过感觉有空还得多做点 lca 的题。不看板子敲起来还是有点虚...

代码

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

const int maxn = 1e5 + 5;

int n, m, cnt;
int a[maxn];
int root[maxn];
vector<int> v;
vector<int> G[maxn];
int pre[maxn];
int dep[maxn];
int f[maxn][20];

struct node {
    int l, r, sum;
} T[maxn * 40];

void init() {
    v.clear();
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        G[i].clear();
    }
    cnt = 0;
    for (int i = 0; i <= n * 40; i++) {
        T[i].l = T[i].r = T[i].sum = 0;
    }
    memset(dep, 0, sizeof(dep));
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    memset(f, 0, sizeof(f));
    memset(root, 0, sizeof(root));
}

int getid(int x) {
    return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1;
}

void update(int l, int r, int &x, int y, int pos) {
    T[++cnt] = T[y];
    T[cnt].sum ++;
    x = cnt;
    if (l >= r) {
        return ;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    if (mid >= pos) {
        update(l, mid, T[x].l, T[y].l, pos);
    }
    else {
        update(mid + 1, r, T[x].r, T[y].r, pos);
    }
}

void dfs(int u, int fa, int n) {
    pre[u] = fa;
    dep[u] = dep[fa] + 1;
    f[u][0] = fa;
    for (int i = 1; i < 20; i++) {
        f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
    }
    update(1, n, root[u], root[fa], getid(a[u]));
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        if (G[u][i] == fa)
            continue;
        dfs(G[u][i], u, n);
    }
}

int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    for (int i = 19; i >= 0; i--) {
        if (dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) {
            x = f[x][i];
        }
    }
    if (x == y) {
        return x;
    }
    for (int i = 19; i >= 0; i--) {
        if (f[x][i] != f[y][i]) {
            x = f[x][i];
            y = f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}

int query(int l, int r, int x, int y, int z, int fz, int k) {
    if (l == r) {
        return l;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    int sum = T[T[x].l].sum + T[T[y].l].sum - T[T[z].l].sum - T[T[fz].l].sum;
    if (sum >= k) {
        return query(l, mid, T[x].l, T[y].l, T[z].l, T[fz].l, k);
    }
    else {
        return query(mid + 1, r, T[x].r, T[y].r, T[z].r, T[fz].r, k - sum);
    }
}

int main() {
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        init();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            v.push_back(a[i]);
        }
        sort(v.begin(), v.end());
        v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
        int new_n = v.size();    // 其实直接用 n 也可以
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        dfs(1, 0, new_n);
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x, y, k;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &k);
            int fa = lca(x, y);
            int ans = query(1, new_n, root[x], root[y], root[fa], root[pre[fa]], k) - 1;
            printf("%d\n", v[ans]);
        }
    }
    return 0;
}