图

6.1图的定义

图G由两个集合V和E组成，记为G=(V,E) , 其中V是顶点的有穷非空集合， E是V中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。V(G)和E(G)通常分别表示图G的顶点集合和边集合，E(G)可以为空集。若E(G)为空，则图G只有顶点而没有边。

对于图G ,若边集E(G)为有向边的集合，则称该图为有向图 ; 若边集E(G)为无向边的集合，则称该图为无向图。

在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，它称为从顶点 x到顶点 y的一条有向边。因此，<x, y>与<y, x>是不同的两条边。顶点对用一对尖括号括起来，x是有有向边的始点，y是有向边的终点。<x, y>也称作一条弧，则 x为弧尾，y为弧头。

在无向图中，顶点对（x, y)是无序的，它称为与顶点x和顶点y相关联的一条边。这条边没有特定的方向，（x,y)与(y,x)是同一条边。为了有别于有向图，无向图的顶点对用一对圆括号括起来。

6.1.2图的基本术语

子图：假设有两个图 G = (V, E)和 G'= (V', E'), 如果V包含V‘且 E包含E’, 则称 G'为 G的子图。
无向完全图和有向完全图:对于无向图，若具有 n(n-1)/2 条边，则称为无向完全图。对于有向图，若具有nn( - l)条弧，则称为有向完全图。
稀疏图和稠密图:有很少条边或弧(如 e<nolg2 n) 的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
权和网:在实际应用中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边上的权。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。
邻接点:对于无向图 G, 如果图的边 (v, v')属于E, 则称顶点 v 和 v'互为邻接点，即v和v'相邻接。边(v,v')依附于顶点v和v', 或者说边(v,v')与顶点v和v'相关联。
度、入度和出度:顶点v的度是指和v相关联的边的数目，记为TD(v)。对于有向图，顶点v的度分为入度和出度。入度是以顶点v为头的弧的数目，记为ID(v); 出度是以顶点v为尾的弧的数目，记为OD(v)。顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)。
路径和路径长度:在无向图G中，从顶点 v 到顶点 v' 的路径是一个顶点序列 (v = vi,0, Vi, 1,...,Vi,m=v'), 其中(vi,j-1,vi,j)属于E, 1<=j<=m。如果G是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应满足<vi,j-1,vi,1>属于E,1<=j<=m。路径长度是一条路径上经过的边或弧的数目。
回路或环:第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
简单路径、简单回路或简单环:序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环 。
连通、连通图和连通分量:在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v'有路径，则称 v 和 v' 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 Vi 、Vj属于V, Vi 和 Vj都是连通的，则称 G 是连通图。所谓连通分量，指的是无向图中的极大连通子图。
强连通图和强连通分量:在有向图 G 中，如果对于每一对 vi, vj属于 V,vi不等于vj, 从 vi 到 vj 和从 vj 到 vi 都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。
连通图的生成树: 一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条边，这样的连通子图称为连通图的生成树。
有向树和生成森林:有一个顶点的入度为 0, 其余顶点的入度均为 l 的有向图称为有向树。一个有向图的生成森林是由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

6.2 案例引入

案例 6.1: 六度空间理论。

六度空间理论是一个数学领域的猜想，又称为六度分割理论(SixDegrees ofSeparation)。六度空间理论是 20 世纪 60 年代由美国的心理学家米格兰姆 (Stanley Milgram) 提出的，理论指出: 你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过6个，也就是说，最多通过6个中间人你就能够认识任何一个陌生人。

随着新技术的发展，六度空间理论的应用价值受到了人们的广泛关注，除了前面提到的微软的人立方搜索，很多领域都运用了六度空间理论，例如 SNS 网站、 BLOG 网站、电子游戏社区、直销网络等。

6.3 图的类型定义

图是一种数据结构，加上一组基本操作，就构成了抽象数据类型。抽象数据类型图的定义如下:

ADTGraph{
  数据对象: V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。
  数据关系:
    R = {VR}
    VR = {<v, w>|v,wEV且P(v,w)<v,w>表示从v到w的弧,谓词P               (v, w)定义了弧<v, w>的意义或信息}
  基本操作:
    CreateGraph(&G,V,VR)
     初始条件:V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。
     操作结果:按V和VR的定义构造图G。
    DestroyGraph(&G)
     初始条件:图G存在。 操作结果:销毁图G。
    Locat eVex(G,u)
     初始条件:图G存在，u和G中顶点有相同特征。
     操作结果:若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中的位置;否则返回其他信息。        GetVex(G,v)
     初始条件:图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果:返回v的值。
    PutVex(&G,v,value);
     初始条件:图G存在，v是G中某个顶点。
     操作结果:对 v赋值value。
    FirstAdjVex(G,v)
     初始条件:图G存在，v是G中某个顶点。
     操作结果:返回 v的第一 个邻接顶点。若v在G中没有邻接顶点，则返回 “空”     NextAdjVex(G,v,w)
     初始条件:图G存在，v是G中某个顶点，w是v的邻接顶点。
     操作结果:返回v的(相对千w的)下一 个邻接顶点。若w是v的最后一 个邻接        点，则返回 “空” 。
    InsertVex(&G,v)
     初始条件:图G存在，v和图中顶点有相同特征。
     操作结果:在图G中增添新顶点v。
    DeleteVex(&G,v)
     初始条件:图G存在，v是G中某个顶点。
     操作结果:删除 G中顶点v及其相关的弧。
    InsertArc(&G,v,w)
     初始条件:图G存在，v和w是G中两个顶点。
     操作结果:在G中增添弧<v, w>,若G是无向图，则还增添对称弧<w, v>。
    DeleteArc(&G,v,w)
     初始条件:图G存在，v和w是G中两个顶点。
     作结果:在G中删除弧<v, w>,若G是无向图，则还删除对称弧<w, v>。
    DFSTraverse(G)
     初始条件:图G存在。
     操作结果:对图进行深度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点访问一次。           BFSTraverse(G)
     初始条件:图G存在。
     操作结果:对图进行广度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点访问一次。 
}ADT Graph

6.4图的存储结构

6.4.1邻接矩阵

1.邻接矩阵表示法

用邻接矩阵表示法表示图，除了一个用千存储邻接矩阵的二维数组外，还需要用一个一维数组来存储顶点信息。其形式说明如下:

//-----图的邻接矩阵存储表示-----
#define Maxint 32767
#define MVNum 100 
typedef char VerTexType; 
typedef int ArcType; 
typedef struct
{
    VerTexType vexs[MVNum];
    ArcType arcs[MVNum)[MVNum); 
    int vexnum,arcnum;
}AMGraph;

2.采用邻接矩阵表示法创建无向网

算法描述

Status CreateUDN(AMGraph &G)
{//采用邻接矩阵表示法，创建无向网G
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;            //输人总顶点数，总边数
    for(i=O;i<G.vexnum;++i)             //依次输入点的信息
        cin>>G.vexs[i);
    for(i=O;i<G.vexnum;++i)             //初始化邻接矩阵，边的权值均置为极大值MaxInt
        for(j=0;j<G.vexnum;++j)
            G.arcs[i][j]=MaxInt;
    for(k=O;k<G.arcnum;++k)             //构造邻接矩阵
    {               
         cin>>vl>>v2>>w;                //输人一条边依附的顶点及权值
         i=LocateVex(G,vl);j=LocateVex(G,v2); //确定vl和v2在G中的位置，即顶点数组的下标
         G.arcs[i) [j)=w;               //边<v1, v2>的权值置为w
         G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];     //置<v1,v2>的对称边<v2, v1>的权值为w
     }                                  //for
     return OK;
}

6.4.2邻接表

1.邻接表表示法

邻接表(Adjacency List) 是图的一种链式存储结构。在邻接表中，对图中每个顶点V; 建立一个单链表，把与 V;相邻接的顶点放在这个链表中。邻接表中每个单链表的第一个结点存放有关顶点的信息，把这一结点看成链表的表头，其余结点存放有关边的信息，这样邻接表便由两部分组成:表头结点表和边表。

//- - - - -图的邻接表存储表示- - - - -
#define MVNum 100
typedef struct ArcNode
{
int adjvex;
struct ArcNode * nextarc;
Otherinfo info;
}ArcNode;
typedef struct VNode
{
    VerTexType data;
    ArcNode *firstarc;
}VNode,AdjList[MVNum]; 
typedef struct
{
    AdjList vertices;
    int vexnum,arcnum; 
}ALGraph;

2.采用邻接表表示法创建无向图

算法描述

 Status CreateUDG(ALGraph &G)
{//采用邻接表表示法， 创建无向图 G
     cin>>G.vexnum>>G.arcnum; 
     for(i=O;i<G.vexnum;++i
     {
         cin>>G.vertices[i].data;
         G.vertices[i].firstarc=NULL;
     }
     for(k=O;k<G.arcnum;++k)
     {
         cin>>c1>>c2;
         i=LocateVex{G,v1};j=LocateVex{G,v2};
         pl=new ArcNode; 
         pl->adjvex= j; 
         pl->nextarc=G.vertices[i].firstarc;
         G.vertices[i].firstarc=pl;
         p2=new ArcNode;
         p2->adjvex=i; 
         p2->nextarc=G.vertices[j].firstarc;
         G.vertices[j].firstarc=p2;
     }
     return OK;
}

6.4.3十字链表

有向图的十字链表存储表示的形式说明如下所示：

//- - - - -有向图的十字链表存储表示- - - - -
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef strut ArcBox
{
    int tailvext,headvex;
    struct ArcBox *hlink, *tlink;
    InfoType *info;
}ArcBox;
typedef struct VexNode
{
    VertexType data;
    ArcBox *firstin,*firstout; 
}VexNode;
typedef struct
{
    VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];
    int vexnnm, arcnum;
}OLGraph;

6.4.4 临界多重表

在邻接多重表上，各种基本操作的实现亦和邻接表相似。邻接多重表的类型说明如下:

//- - - - -无向图的邻接多重表存储表示-----
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum{unvisited,visited} Visitlf;
typedef struct EBox
{
    Visitlf mark;
    int ivex, jvex;
    struct EBox *ilink, *jlink; 
    InfoType *info;
}Ebox;
typedef struct VexBox
{
    VertexType data;
    EBox *firstedge;
}VexBox;
typedef struct{
    VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];
    int vexnum, edgenum;
}AMLGraph;

posted @ 2022-02-07 17:42 在结束时开始阅读(149) 评论(0) 收藏举报

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