记录 Deepseek 秒掉一道 CF2400 的全过程
原题：https://codeforces.com/contest/1633/problem/E
以下为全文摘抄：
好的，我现在需要解决的问题是，给定一个包含n个点和m条边的无向带权图，进行k次查询。每次查询给定一个整数qi，需要从图中选出一棵生成树，使得生成树的所有边的权值与qi的绝对差之和最小。对于前p次查询，qi是直接给出的，之后的查询则按照公式qi = (qi-1 * a + b) mod c生成。数据范围中n比较小，但k可以达到1e7次，这提示我们需要一个高效的算法来处理大量查询。
首先，我需要理解问题的核心：对于每个查询qi，找到一棵生成树，使得Σ|wj - qi|最小。这看起来像是一个优化问题，其中生成树的选择会影响总和的绝对差值。考虑到n的范围较小（<=50），而m可以达到300，生成树的总数可能非常大，直接枚举所有生成树显然不可行。
可能的思路是，对于每个qi，找到生成树中边权的中位数或某种接近qi的值，从而最小化绝对差之和。但生成树的边选择需要满足树的连通性，这增加了问题的复杂性。
另一个角度是，绝对差之和的最小化类似于在生成树中选择边权尽可能接近qi的边。可能的问题转化为，如何选择生成树的结构，使得边权的分布最优。不过，这样的转化可能并不直接帮助，因为生成树的结构本身需要满足连通性。
考虑到生成树的边权差异，或许可以将问题分解为：对于每个边，根据当前qi，计算其权重|wj - qi|，然后在这个新的权重下寻找最小生成树。也就是说，将原问题转化为，对于每个qi，重新定义边的权重为|wj - qi|，然后求这个新图的最小生成树的总权重。但这种方法的时间复杂度对于k次查询来说是不可行的，因为每次查询都需要重新计算所有边的权重并运行最小生成树算法，而k可以达到1e7次，这显然无法在合理时间内完成。
因此，必须寻找一种更高效的预处理方法，或者找到某种数学规律，使得可以预先计算出所有可能的qi对应的最优生成树的结构，从而在查询时快速得到答案。
由于qi可能的值范围很大（由于c可以达到1e8），直接预处理所有可能的qi是不现实的。因此，可能需要找到qi的分段区间，在每个区间内，最优生成树的结构保持不变，从而只需要处理这些区间的边界点，并在查询时确定qi所在的区间，进而快速得到对应的总和。
这类似于离线处理所有可能的查询，将qi排序后，确定每个区间对应的生成树结构。然而，k可以达到1e7次，即使预处理也需要高效的方法。
另一种可能的思路是，观察到对于绝对差之和的最小化，最优的生成树可能对应某个特定的中位数附近的边权。例如，当qi变化时，最优生成树的边选择可能会在某个阈值处切换。因此，可能可以预先计算出所有可能的候选生成树，并为每个生成树确定其对应的qi区间，使得在该区间内该生成树是最优的。
具体来说，假设我们枚举所有可能的生成树，对于每个生成树T，计算使得Σ|wj(T) - qi|最小的qi区间。然后，对于每个查询qi，只需找到对应的区间，从而得到对应的生成树和总和。然而，生成树的数量可能非常大（对于n=50，生成树的数量是50^48级别），显然无法枚举。
因此，需要更聪明的优化方法。或许，可以注意到对于不同的qi，最优生成树的选择可能遵循某种单调性，或者可以通过动态规划或其他结构来管理可能的候选生成树。
另一个角度是，考虑每条边对于不同qi的贡献。例如，对于边权wj，当qi < wj时，绝对差为wj - qi；当qi >= wj时，绝对差为qi - wj。因此，总和Σ|wj - qi|可以分解为各个边的分段线性函数。然后，整个问题转化为在所有这些分段线性函数的叠加中，找到生成树对应的函数的最小值。
然而，这似乎依然难以直接处理，因为生成树的结构会影响哪些边被选中，从而影响总和。因此，可能需要结合生成树的选择和qi的变化进行联合分析。
或许，可以将问题转换为对于每个可能的生成树T，计算其对应的函数f_T(qi) = Σ|wj(T) - qi|，然后找到所有生成树中f_T(qi)的最小值。这相当于在多个分段线性函数中寻找每个qi处的最小值。
如果能够预先计算出所有可能的生成树对应的f_T(qi)，然后对于每个qi，找到这些函数中的最小值，那么问题就解决了。但生成树的数量太大，无法存储所有函数。
因此，必须找到一种方法，在不显式枚举所有生成树的情况下，确定对于给定的qi，哪个生成树的f_T(qi)最小。
这里可能需要利用生成树的结构性质。例如，在标准的最小生成树问题中，Kruskal或Prim算法通过贪心选择边。也许在这个问题中，可以找到类似的贪心策略，根据qi的值动态调整边的选择。
例如，当qi增加时，边权较低的边可能变得更有优势，因为|wj - qi|会增加对于高wj的边，而减少对于低wj的边。因此，生成树的选择可能会随着qi的变化而切换不同的边组合。
这提示可能存在一个关于qi的排序，使得当qi超过某个阈值时，生成树的结构发生变化。如果能找到这些阈值，就可以将qi的整个范围划分为多个区间，每个区间对应一个最优生成树。
但如何高效地找到这些阈值呢？这可能需要分析所有可能的生成树之间的交叉点，即两个生成树T1和T2的f_T1(qi) = f_T2(qi)时的qi值。这些交叉点即为可能的阈值。
然而，这样的交叉点数量可能非常大，尤其是当生成树数量多时，这依然不可行。
另一种可能的思路是，对于每个查询qi，最优生成树实际上是在原图中选择边权最接近qi的边构成的生成树。因此，可以预先按边权排序，然后在查询时根据qi选择边权接近的边，构建生成树。
但如何确保这些边能构成生成树，并且总绝对差最小？这可能需要类似于Kruskal算法的过程，但按|wj - qi|排序来选择边，同时保证连通性。
这似乎与标准的最小生成树算法类似，只是边的权重变为动态的|wj - qi|。如果每次查询时都运行一次Kruskal算法，时间复杂度将是O(k * m log m)，对于k=1e7来说，这显然无法接受。
因此，必须寻找一种预处理方法，使得对于不同的qi范围，可以快速确定边的选择顺序，从而避免每次查询都重新计算。
观察到边的排序可能随着qi的变化而变化。对于每条边ej，其权重为|wj - qi|。当qi变化时，边的排序可能会发生变化。特别是，当qi超过某个边的wj时，该边的权重会从递减变为递增，或者反之。
因此，边的排序可能在qi的某些关键点发生变化。这些关键点是所有边的wj值。当qi在相邻的两个wj之间时，边的排序可能保持不变。因此，可以将整个qi的范围划分为多个区间，每个区间对应一种边的排序方式。
对于每个这样的区间，可以预先运行Kruskal算法，得到该区间内的最优生成树，并记录对应的总绝对差之和。然后，对于查询qi，只需确定它属于哪个区间，并直接取对应的总和。
这种方法的关键在于，区间的数量是O(m)，因为关键点是所有不同的wj值。排序后，这些关键点将分割整个数轴为m+1个区间。在每个区间内，边的排序方式固定，因此可以预先为每个区间计算生成树。
预处理步骤可能如下：
1. 收集所有边的权值wj，排序并去重，得到关键点列表。
2. 将整个qi的范围划分为区间，基于这些关键点。
3. 对于每个区间，确定边的排序（按|wj - qi|升序），然后运行Kruskal算法选择生成树，并计算总绝对差之和。
4. 对于每个查询qi，找到其所在的区间，直接返回对应的总和。
然而，这里存在几个问题：
- 边的权值可能有很多重复，去重后关键点数量可能仍然很大（例如m=300，可能有300个关键点），导致预处理需要计算300次生成树。对于每次生成树计算，Kruskal的时间是O(m log m)，预处理总时间为O(m^2 log m)，这在m=300时是可行的（300^2=9e4，乘以log是约3e5，可以接受）。
- 对于每个区间，生成树的结构可能不同，需要存储每个区间的生成树的总和函数，这可能是一个分段线性函数。例如，在区间[L, R]内，总和Σ|wj - qi|可能是一个关于qi的线性函数，可以表示为Σ(wj >= qi ? (wj - qi) : (qi - wj))。对于固定的生成树边集合，总和可以分解为对于每条边的绝对差之和，这确实是一个分段线性函数，且在区间内可能具有固定的斜率。
因此，预处理步骤可以不仅存储每个区间的总和值，还可以存储对应的线性函数，从而在查询时快速计算。
例如，对于某个区间[L, R]，假设生成树T的边集合为E_T，那么总和为Σ_{e∈E_T} |w_e - qi|。对于这个区间内的qi，可以将其分解为：
Σ_{e∈E_T, w_e <= qi} (qi - w_e) + Σ_{e∈E_T, w_e > qi} (w_e - qi)
这可以进一步表示为：
count_leq * qi - sum_leq + sum_gt - count_gt * qi
其中count_leq是E_T中w_e <= qi的边的数量，sum_leq是这些边的w_e之和；count_gt和sum_gt类似，对于w_e > qi的边。
合并后，总和为：
(sum_gt - sum_leq) + (count_leq - count_gt) * qi
因此，对于每个区间，可以预先计算sum_gt, sum_leq, count_leq, count_gt，这些值在区间内是固定的（因为生成树的边集合固定，且在该区间内边的排序方式固定，所以哪些边在生成树中是固定的）。然后，对于该区间内的qi，总和可以表示为线性函数a * qi + b，其中a = (count_leq - count_gt)，b = (sum_gt - sum_leq)。
因此，预处理步骤需要为每个区间存储a和b，以及该区间的左右边界L和R。当处理查询时，只需确定qi所在的区间，然后用对应的a和b计算总和。
现在的问题是，如何生成这些区间和对应的线性函数。
具体步骤如下：
1. 收集所有边的权值w_j，排序并去重，得到关键点列表S。例如，S = {s_0, s_1, ..., s_t}，其中s_0 = -infinity，s_{t+1}=+infinity，实际的关键点是所有w_j排序后的唯一值。
不过，实际上，当qi变化时，边的排序方式可能变化的点不仅仅是边的权值，因为当qi在两个相邻的w_j之间时，边的排序可能保持稳定。例如，考虑两条边e1(w=5)和e2(w=10)。当qi在5和10之间时，|5 - qi|和|10 - qi|的顺序取决于qi的具体位置。例如，当qi=7时，|5-7|=2，|10-7|=3，所以e1的权重更小；当qi=8时，|5-8|=3，|10-8|=2，此时e2的权重更小。因此，关键点可能在qi=7.5，即两者的中点。这说明，边的排序变化的临界点不仅仅是边的权值本身，还包括它们的中间点。
这大大增加了关键点的数量。例如，对于m条边，两两之间的中点都可能成为关键点，导致关键点数量为O(m^2)，这在m=300时是9e4，预处理时间可能变得不可行。
这显然不适用于m=300的情况，因为预处理需要处理9e4个区间，每个区间需要运行Kruskal算法，时间复杂度为O(m^3 log m)，这在时间上是不可接受的。
因此，这表明之前的思路可能不可行，需要寻找其他方法。
可能的另一种思路是，注意到在生成树的选择中，对于不同的qi，最优生成树可能属于某个特定的候选集合。例如，可能只有少数生成树在不同的qi范围内是最优的，因此可以预先找出这些候选生成树，并确定它们的有效区间。
如何找到这些候选生成树呢？这可能需要利用生成树的性质，例如，最优生成树在qi变化时可能只在某些特定点发生变化，而这些点与边的权值有关。
或者，可以考虑将问题转化为动态规划，维护当前最优生成树的结构，并在qi变化时调整。
然而，这些思路都较为模糊，需要更具体的方法。
回到问题本身，由于n较小（<=50），但k很大，可能需要找到一个与qi无关的生成树结构，或者利用某种数学性质快速计算总和的最小值。
例如，如果最优生成树的总和Σ|wj - qi|的最小值等于某个与qi无关的结构，比如生成树的中位数边的权值，或者平均值，那么可能可以快速计算。但这种情况可能并不成立，因为生成树的选择会影响哪些边被包含。
另一种可能：对于给定的生成树，总和Σ|wj - qi|的最小值发生在qi等于生成树边权的中位数时。因此，可能最优生成树的中位数尽可能接近qi。但如何选择生成树的中位数接近qi的生成树呢？
这可能仍然无法直接解决问题，但或许可以结合生成树的选择和中位数的性质。
例如，对于每个生成树，计算其中位数m_T，然后当qi接近m_T时，该生成树可能是最优的。因此，预处理所有生成树的中位数，并为每个可能的qi选择最近的中位数对应的生成树。
然而，生成树的数量仍然太大，无法处理。
综上，可能必须寻找一种近似的解决方案，或者找到问题中的某种特殊结构，使得可以高效处理大量查询。
考虑到时间限制，可能需要寻找一种更聪明的观察。
假设对于每个查询qi，最优生成树是原图中按边权与qi的绝对差排序后的最小生成树。也就是说，对于每个qi，构造一个新图，其中边的权重为|wj - qi|，然后求这个新图的最小生成树，其总权重即为答案。
虽然直接这样做的时间复杂度是O(k * m log m)，对于k=1e7不可行，但或许可以找到某种规律，使得可以预处理这些查询。
注意到，后续的查询qi是根据前一个查询计算得到的：qi = (qi-1 * a + b) mod c。这可能意味着qi的值在某种循环中，或者可以通过某种数学方法批量处理这些查询。
例如，如果a和c互质，那么qi可能会遍历所有可能的值，但根据模运算的性质，可能需要找到循环节。但即使如此，对于c=1e8，循环节可能非常大，无法处理。
另一种可能性是，预处理所有可能的qi值，并将它们分类到不同的区间，然后对每个区间内的qi，计算对应的生成树总和。但由于qi的范围太大，这不可行。
回到之前的思路，如果预处理所有可能的边排序的关键点，并计算每个区间对应的生成树，那么对于每个查询，只需要O(log m)的时间来确定区间，然后O(1)时间计算总和。
关键点的数量如果能够控制在可接受的范围内，例如O(m^2)，对于m=300是9e4，预处理需要9e4次Kruskal算法，每次O(m log m)时间，总预处理时间是9e4 * 300 * log 300 ≈ 9e4 * 300 * 8 ≈ 2.16e8操作，这可能在时间上是可行的，尤其是用高效的代码实现。
然后，对于每个查询，使用二分查找确定所在的区间，时间复杂度O(log m^2) = O(log 9e4) ≈ 17次操作，对于k=1e7次查询，总时间为1.7e8操作，这应该是可以接受的。
因此，这可能是一个可行的方案。
具体步骤：
1. 收集所有边的权值w_j，并生成所有可能的关键点，即所有w_j之间的中点。例如，对于每两条边e1(w1)和e2(w2)，如果w1 < w2，则关键点为(w1 + w2)/2。此外，还包括所有w_j本身，因为当qi等于某个w_j时，边的排序可能发生变化。
2. 对所有这些关键点进行排序，去重，得到排序后的列表S。
3. 将整个qi的范围划分为区间，每个区间由相邻的关键点确定。
4. 对每个区间，确定在该区间内的qi值时，边的排序（按|wj - qi|升序），然后运行Kruskal算法选择最小生成树，并记录该生成树的边集合。
5. 对于每个这样的生成树，预先计算其对应的线性函数参数a和b，即总和Σ|wj - qi| = a * qi + b，其中a和b在该区间内是固定的。
6. 对于查询处理：
a. 对于前p次查询，直接处理每个qi，通过二分查找找到它所在的区间，计算总和为a*qi + b。
b. 对于后续的查询，生成qi后同样处理。
然而，这里的关键问题是如何生成所有可能的关键点。例如，对于m条边，两两之间的中点数量是O(m^2)，这在m=300时是大约45,000个中点，加上原有的300个w_j，总共约45,300个关键点。排序去重后，可能得到约相同数量的关键点。这将导致预处理需要处理约4e4个区间，每个区间运行一次Kruskal算法。
对于每个区间，运行Kruskal的时间是O(m log m)，总预处理时间为4e4 * 300 * log 300 ≈ 4e4 * 300 * 8 ≈ 9.6e7操作，这应该在合理范围内，尤其是用高效的编程语言如C++实现。
一旦预处理完成，每个查询的处理时间为O(log 4e4) ≈ 15次比较，加上计算线性函数的a*qi + b，这非常快。
因此，这可能是一个可行的解决方案。
但需要注意以下几点：
- 如何正确生成所有关键点，包括所有边的w_j以及所有两两边的中点。
- 在预处理每个区间时，确保边的排序正确，即按|wj - qi|升序排列。由于在区间内qi的范围是确定的，可以取区间内的任意一个值（例如中点）来排序边。
- 处理生成树时，可能在不同的区间中选择相同的生成树，此时可以合并这些区间以减少存储。
此外，还需要注意，当多条边具有相同的|wj - qi|值时，它们的相对顺序可能影响Kruskal算法的选择，但由于Kruskal在边权相等时按输入顺序处理，可能需要稳定排序，或者在预处理时处理这种情况。
综上所述，该方案的大致步骤如下：
预处理阶段：
1. 收集所有边的权值，生成所有关键点（边的权值及两两边权的中点）。
2. 排序并去重这些关键点，得到有序列表S。
3. 将数轴划分为区间：[-inf, s_1), [s_1, s_2), ..., [s_{t-1}, s_t), [s_t, +inf)。
4. 对每个区间[L, R)，选择一个代表值mid（例如(L + R)/2），计算所有边的|wj - mid|，按此值升序排序边。
5. 运行Kruskal算法，选择最小生成树，并记录该生成树的边集合。
6. 对于该生成树，计算其对应的线性函数参数a和b，其中a = (count_leq - count_gt)，b = (sum_gt - sum_leq)。这里，count_leq是生成树中wj <= qi的边数，sum_leq是这些边的wj之和；count_gt和sum_gt类似。
实际上，a和b需要根据生成树的边集合和当前区间的qi范围来确定。例如，在区间[L, R)内，假设生成树的边集合为E_T，对于该区间内的任何qi，每条边e∈E_T的|w_e - qi|可以分解为：
- 如果w_e <= qi，则贡献为qi - w_e → 对于总和的贡献为 +1 * qi - w_e
- 如果w_e > qi，则贡献为w_e - qi → 对于总和的贡献为 -1 * qi + w_e
因此，总和可以表示为：
Σ (if w_e <= qi then qi - w_e else w_e - qi)
= Σ (qi - w_e) for w_e <= qi + Σ (w_e - qi) for w_e > qi
= (count_leq * qi - sum_leq) + (sum_gt - count_gt * qi)
= (count_leq - count_gt) * qi + (sum_gt - sum_leq)
因此，a = count_leq - count_gt，b = sum_gt - sum_leq。
其中，count_leq是E_T中w_e <= qi的边数，sum_leq是这些边的w_e之和；count_gt和sum_gt同理。
但是，在预处理时，由于区间[L, R)内的qi范围已知，可以确定哪些边的w_e <= qi对于所有qi在该区间内的情况。例如，如果区间的上界R是某个关键点，那么在区间内的qi的最大值可能小于等于某个值，从而可以确定哪些边的w_e <= qi。
然而，这并不一定成立，因为区间可能包含多个w_e的值。例如，区间可能跨越多个边的权值。
因此，可能需要更仔细的处理。实际上，对于每个区间[L, R)，可以确定在该区间内的qi的取值范围，从而确定每条边e的w_e与qi的关系：
对于边e，如果w_e <= L，则对于所有qi >= L >= w_e，在区间[L, R)内，w_e <= qi。
如果w_e > R，则对于所有qi < R < w_e，在区间[L, R)内，w_e > qi.
如果w_e在[L, R)之间，则在该区间内，可能存在qi使得w_e <= qi或w_e > qi。例如，如果区间是[5, 10)，而w_e=7，则当qi在[5,7)时，w_e > qi；当qi在[7,10)时，w_e <= qi。因此，这样的边在该区间内会有一个分界点，导致该边在区间内的不同部分有不同的贡献。
这表明，之前的假设错误，即在一个区间内，边的w_e与qi的关系可能不是固定的，因此无法预先确定count_leq和sum_leq等参数。
这导致之前的思路存在严重问题，因为无法在预处理时为整个区间确定a和b的固定值。
因此，必须重新考虑如何处理这种情况。
可能的解决方案是，将区间进一步细分，使得在每个子区间内，所有边的w_e与qi的关系是确定的。例如，将区间划分为更小的区间，使得在每个子区间内，对于所有边e，要么w_e <= qi，要么w_e > qi。这可以通过将关键点包括所有边的w_e值，以及所有两两边的中点。
具体来说，关键点应包括：
- 所有边的w_e值。
- 所有两两边之间的中点，即(w_e1 + w_e2)/2，其中w_e1 < w_e2.
这些关键点将整个数轴划分为区间，在每个区间内，所有边的|w_e - qi|的相对顺序是固定的，并且对于每条边e，w_e <= qi或w_e > qi在区间内是确定的。
这可能吗？
例如，对于两条边e1(w=5)和e2(w=10)，其中点7.5是关键点。当qi <7.5时，|5 - qi| < |10 - qi|；当qi >7.5时，|10 - qi| < |5 - qi|。因此，在区间划分后，边的排序在区间内是固定的。
同样，对于边e3(w=8)，在区间7.5到某个点之间，可能需要考虑其他边的中点。
通过这样的划分，可以确保在每个区间内，边的排序（按|wj - qi|升序）是固定的，并且每条边的wj与qi的关系（<=或>）也是固定的。
这样，对于每个区间，可以：
1. 确定所有边在该区间内的|wj - qi|的排序。
2. 运行Kruskal算法按此排序选择边，得到生成树。
3. 对于该生成树，确定每条边的wj与qi的关系（<=或>），从而计算a和b。
此时，由于在区间内，所有边的wj与qi的关系是固定的（例如，在区间[L, R)内，对于某边e，wj <= L → wj <= qi；wj >= R → wj > qi；若wj在[L, R)内，则必须在该区间的划分中已经处理为子区间，使得在子区间内，wj <= qi或wj > qi）。
这似乎要求将区间进一步细分为更小的区间，以确保对于每条边e，在子区间内，w_e <= qi或w_e > qi对所有qi在该子区间内成立。
因此，关键点应包括所有边的w_e值，以及所有两两边之间的中点。这将产生O(m^2)个关键点。
例如，对于m=300条边，这样的关键点数量是300 + 300*299/2 ≈ 45,000个关键点。排序去重后，可能得到类似数量的关键点。
然后，预处理每个区间，运行Kruskal算法，并计算对应的a和b。
这可能是一个可行的方案，尽管预处理时间可能较长。
综上，最终的解决方案可能如下：
预处理阶段：
1. 收集所有边的权值w_j，生成所有关键点，包括：
a. 所有w_j的值。
b. 所有两两边权的中点，即(w_i + w_j)/2，其中w_i < w_j。
2. 将这些关键点排序并去重，得到有序列表S。
3. 将数轴划分为区间：[ -infty, S[0]), [S[0], S[1}), ..., [S[-2], S[-1}), [S[-1], +infty).
4. 对每个区间[L, R)：
a. 确定在该区间内的任意代表值mid（例如取(L + R)/2，注意处理无穷大）。
b. 计算每条边e的|w_e - mid|，并按此值升序排序边，作为Kruskal算法的输入顺序。
c. 运行Kruskal算法，选择生成树T。
d. 对于生成树T中的每条边e，确定在该区间内，w_e与qi的关系：
- 如果w_e <= L，则对于所有qi in [L, R)，w_e <= qi。
- 如果w_e >= R，则对于所有qi in [L, R)，w_e > qi.
- 如果L < w_e < R，则由于关键点包括所有边的w_e，区间必然被分割为更小的区间，因此在当前预处理阶段，该情况已经被处理。因此，在当前的区间[L, R)中，w_e要么 <= L，要么 >= R。
因此，在预处理时，对于当前区间，所有边的w_e与qi的关系是确定的，即要么w_e <= qi，要么w_e > qi。
e. 根据生成树T中的边，计算count_leq（w_e <= qi的边数）和sum_leq（这些边的w_e之和），以及count_gt和sum_gt。
f. 存储该区间对应的a = count_leq - count_gt，b = sum_gt - sum_leq。
查询处理阶段：
对于每个查询qi：
1. 使用二分查找在S中找到qi所在的区间。
2. 获取该区间对应的a和b。
3. 计算总和为a * qi + b。
然而，需要注意，当L或R为无穷大时，需要特殊处理。例如，当区间是[-inf, s_0)，此时所有qi < s_0，因此对于所有边e，如果w_e >= s_0，则w_e > qi；如果w_e < s_0，则可能在当前区间内存在w_e > qi的情况，这需要重新验证。
这表明，之前的假设可能不成立，因为即使关键点包括所有w_e和中点，某些边的w_e可能在区间内，导致w_e与qi的关系不确定。例如，假设区间是[5, 7)，而某条边的w_e=6，那么对于qi=5.5，w_e=6 > qi；对于qi=6.5，w_e=6 <= qi？不，6 <= qi=6.5是true。但区间[5,7)中的qi可能在5到7之间，因此对于w_e=6，当qi在[5,6)时，w_e > qi；当qi在[6,7)时，w_e <= qi。因此，该边在区间[5,7)中的不同子区间内，其与qi的关系会发生变化。
这意味着，之前的预处理步骤未能正确细分区间，导致在一个预处理区间内，某条边的w_e与qi的关系可能变化。这表明，关键点必须包括所有边的w_e，而不仅仅是中点。例如，在上面的例子中，关键点应包括w_e=6，将区间[5,7)分割为[5,6)和[6,7)。
因此，正确的关键点生成应包括：
所有边的w_e值，以及所有两两边权的中点（w_i + w_j)/2，其中w_i < w_j。
这将确保在每个预处理区间内，所有边的w_e要么全部 <= qi，要么全部 > qi，因为区间的边界是这些关键点。例如，考虑边e的w_e=6，如果区间是[5,6)，则对于所有qi in [5,6)，w_e=6 > qi；如果区间是[6,7)，则w_e=6 <= qi。
因此，正确的预处理步骤如下：
预处理阶段：
1. 收集所有边的权值w_j，生成所有关键点：
a. 所有边的w_j。
b. 所有两两边权的中点，即(w_i + w_j)/2，其中w_i < w_j。
2. 对这些关键点进行排序并去重，得到有序列表S。
3. 将数轴划分为区间：[-inf, S[0]), [S[0], S[1}), ..., [S[-2], S[-1}), [S[-1], +inf).
4. 对每个区间[L, R)：
a. 确定该区间内的代表值mid，例如取(L + R)/2。如果L是-inf，取一个足够小的值；如果R是+inf，取一个足够大的值。
b. 计算每条边e的|w_e - mid|，并按此值升序排序边。
c. 运行Kruskal算法，选择生成树T。
d. 对于生成树T中的每条边e，确定在该区间内，w_e与qi的关系：
- 如果w_e <= L，则对于所有qi in [L, R)，w_e <= qi（因为区间的右端点R可能大于w_e，但关键点包括所有w_e，所以如果w_e <= L，那么R > L >= w_e，因此对于qi >= L >= w_e，w_e <= qi）。
- 如果w_e >= R，则对于所有qi in [L, R)，w_e > qi（因为qi < R <= w_e）。
- 如果L < w_e < R，则由于关键点包括w_e，区间必然被分割为[L, w_e)和[w_e, R)，因此当前处理的区间[L, R)实际上不包含w_e，即R <= w_e或L >= w_e。否则，在生成关键点时，w_e会被加入，导致区间分割。
因此，在当前区间[L, R)中，对于任何边e，要么w_e <= L，要么w_e >= R，从而在区间内的所有qi，w_e与qi的关系是确定的。
e. 计算生成树T中的count_leq（w_e <= qi的边数）和sum_leq，count_gt（w_e > qi的边数）和sum_gt。
f. 存储该区间的a = count_leq - count_gt，b = sum_gt - sum_leq.
查询处理：
对于每个查询qi：
1. 使用二分查找找到qi所在的区间。
2. 获取该区间的a和b。
3. 总和为a * qi + b.
这样，预处理阶段确保了在每个区间内，生成树T的边集合固定，并且每条边的w_e与qi的关系是确定的，从而可以正确计算a和b。
现在，关键问题是如何高效生成所有关键点，并确保预处理正确。
例如，对于m=300条边，生成所有w_j（300个）和所有中点（约45,000个），总关键点数量约为45,300个。排序和去重后，假设剩下约同样数量。
预处理每个区间需要运行Kruskal算法，时间复杂度为O(m log m) per interval，总预处理时间约为45,300 * 300 * log 300 ≈ 45,300 * 300 * 8 ≈ 1.087e8操作，这在C++中是可行的。
对于查询阶段，每个查询需要O(log 45,300) ≈ 16次比较，加上一次乘法和一次加法，总时间对于1e7次查询来说是可行的。
因此，这似乎是解决问题的正确方法。
最后，处理后续查询时，由于qi可能由前一个查询生成，需要按照题目给出的递推公式计算，并确保模运算的正确性。
综上，该问题的解决方案包括：
1. 预处理所有可能的关键点，生成区间。
2. 对每个区间计算对应的生成树和线性函数参数。
3. 对每个查询，快速定位区间并计算结果。
【分割线】
最幽默的是以上只是思考过程，Deepseek 最终给出的解答如下：
[file name]: 1.txt
[file content begin]
给定一个包含
$n$ 个点和 $m$ 条边的无向带权图，你有 $k$ 次询问，第 $i$ 次询问给定一个整数
$q_i$，你需要从图中选出一棵生成树，设该生成树的 $n-1$ 条边的权值为 $w_1,w_2,\dots,w_{n-1}$，你需要求出
$\sum\limits_{j=1}^{n-1}|w_j-q_i|$ 的最小值。
该题所有 $k$ 次询问中，前 $p$ 次询问的 $q_1,q_2,\dots,q_p$ 在输入中给定，从第 $p+1$ 次询问开始的 $q_i=(q_{i-1}\cdot a+b)\bmod c$。
数据范围：
-
$2\leqslant n\leqslant 50$，$n-1\leqslant m\leqslant 300$，$1\leqslant
p\leqslant 10^5$，$p\leqslant k\leqslant 10^7$，$0\leqslant a,b\leqslant
10^8$，$1\leqslant c\leqslant 10^8$。
- $0\leqslant w_i\leqslant 10^8$。
[file content end]
浙公网安备 33010602011771号