2018 蓝桥杯C++ B组国赛

A.B.C.D

水题

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E.搭积木

题意

小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。
在搭积木时，小明选取 m 块积木作为地基，将他们在桌子上一字排开，中间不留空隙，并称其为第0层。
随后，小明可以在上面摆放第1层，第2层，……，最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则
规则1：每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方，与其下一层的积木对齐；
规则2：同一层中的积木必须连续摆放，中间不能留有空隙；
规则3：小明不喜欢的位置不能放置积木。
其中，小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行，从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符，字符可能是‘.’或‘X’，其中‘X’表示这个位置是小明不喜欢的。
现在，小明想要知道，共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。
由于这个答案可能很大，你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。
注意：地基上什么都不放，也算作是方案之一种。
输入：数据的第一行有两个正整数n和m，表示图纸的大小。
随后n行，每行有m个字符，用来描述图纸 。每个字符只可能是‘.’或‘X’。
输出：一个整数，表示答案对1000000007取模后的结果。 

分析

先考虑暴力方案数怎么统计？对于第i行，因为要求是连续的一段，所以可以考虑区间[i,j]都填满的方案数

定义：dp[i][j][k]：表示第i行[j,k]全部填充的方案数

转移：dp[i][j][k]= { 0 (j..k下方包括了不能放的位置)      ∑ ∑dp(i-1, j1, k1) (j1=1...j, k1=k,k+1,..m)  }，这样求是n^5，前缀和优化一下变为n^4即可

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F.矩阵求和      推算+线性求欧拉函数

题意

问n×n的矩阵，每个点的值为gcd(i,j)的平方，问矩阵的和  （n<=1e7）

分析

直接枚举gcd，考虑gcd为 i 的数量，设a，b(a，b<=n)，gcd(a,b)=i，则  a=x*i，b=y*i 且x和y互质 （ x，y <= n/i ），直接预处理欧拉函数，但需要线性求欧拉函数

HDU2824 求欧拉函数前缀和   

ans+=i*i*(1+2*oula[i])，oula[i]：欧拉函数的前缀和   时间复杂度O(n)

tangjz：d^2 (n/d phi(n/d))，然后线性筛一下，莫比乌斯反演可以省略，f(m)=sum([gcd(i,j)=1]，i=1,2...m，j=1,2....m)，考虑i<=j的部分，贡献为sum(phi(j))，i>=j那部分，贡献为sum(phi(i))，i=j被重算，贡献是-1，所求是sum(i^2 phi(j)，i=1,2...n，j=1,2....n/i)，相当于枚举了所以的(i,j)满足 i*j<=n，我们定义g(m)=sum([i*j=m]  i^2  phi(j)，i=1...n，j=1,2....n/i)，所求是sum(g(i)，i=1...n)，而g是积性函数，tls博客：浅谈一类积性函数的前缀和

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Summary：

最后一题不会还不思考真是弱小啊，充分暴露了不愿思考以至思考能力低下的致命缺陷，下阶段任务量可以减小，但思考能力必须提上去

E题是一个比较基础的记忆化递推(dp)，状态和转移都不难想，没做出来确实是自己菜

F题是一个简单的推算+线性求欧拉函数