树 题解

题意

给定一个包含 \(n\) 个点的有根无边权树，根节点为 \(1\)，另外点 \(i\) 的点权为 \(v_i\)。对于点 \(i\)，定义其子树的集合为 \(S_i\)，定义其在树中的深度为 \(dep_i\)。其中 \(dep_1=0\)。定义

\[f(i)=\otimes_{j\in S}\Big(v_j+dep_j-dep_i\Big) \]

求 \(\sum_{i=1}^nf(i)\)。

题解

比较水的紫吧？

由于有异或，考虑对于每个子树维护一个 01-Trie。那么求点 \(i\) 对应的子树的 01-Trie 时，只需要把 \(i\) 的儿子的子树代表的 01-Trie 合并起来就行。然后考虑 \(dep_j-dep_i\) 的变化，显然是全局 \(+1\)。考虑怎么在 01-Trie 上做全局 \(+1\)：从低位往高位存二进制，然后加 \(1\) 的时候交换左右儿子，再去原来的 \(1\) 对应的子树递归修改。全局 \(+1\) 的复杂度就是 \(O(\omega)\)。01-Trie 合并的复杂度与线段树合并类似，均摊总时间复杂度为 \(O(n\omega)\)，可以通过。