高维前缀和/SOS DP 学习笔记

JOISC 2023 D2T2 Council

注意到，钦定一个人为主席后，对于此时得票数大于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案，不管怎么选副主席，均能通过；对于此时得票数小于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案，不管怎么选副主席，均不能通过。所以需要考虑的只有此时得票数恰好等于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案。

记 \(S_i\) 为：钦定 \(i\) 为主席后，得票数等于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案集合。记 \(T_i\) 为 \(i\) 的投票状态取反后的状态。记 \(base_i\) 为：钦定 \(i\) 为主席后，此时得票数大于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案的个数。那么对于 \(i\) 的答案，形式化表述即为：

\(base_i+\max_{T_j \bigcap S_i} \mid T_j \bigcap S_i \mid\)

这是一个我们熟知的高维前缀 \(\max\) 的形式。但是我们还要对 \(T_j\) 这个条件进行限制，所以不能直接做高维前缀 \(\max\)。接下来考虑如何处理这个限制：注意到，\(T_j\) 是 \(T_j \bigcap S_i\) 的超集，而 \(T_j \bigcap S_i\) 又是 \(S_i\) 的子集。那么，我们可以先以 \(T_j\) 为基础做一遍高维后缀 \(\max\)（即超集 \(\max\)），再做一遍高维前缀 \(\max\) 即可。这样就能保证枚举到的集合同时满足是 \(S_i\) 和 \(T_j\) 的子集这两个条件，因此是合法的。

因为本题还要求主席与副主席的编号不同，所以在转移的时候，不仅要维护最大值和最大值编号，还要维护次大值及其编号。写起来有点令人暴躁。

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ARC 100 E - Or Plus Max

先写上一题再写这一题，简直是不要太容易。

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