JOISC 2023 做题记录

Day1

A

很显然的贪心：选择方案一定是先选取链上从小到大排序后的一段前缀，使银币刚好够用，再判断金币够不够用。

先考虑在序列上怎么做：主席树上二分。考虑怎么把序列上的做法搬到树上，这个没想到啊，很不应该！具体做法为：对每个点建立一颗从根到这个点的线段树，处理询问 \((x,y)\) 时，将 \(tree(x)\) 和 \(tree(y)\) 加起来减去 \(tree(lca(x,y))\) 即可。

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B

太难了，以后再补。

C

考虑建图：将 \([L_i,R_i]\) 连向 \(i\)。显然这个是可以用线段树优化至 \(O(n\log n)\) 的。

容易发现，遍历整个序列等价于可以到达 \(1\) 和 \(n\)。因此考虑最短路，求出 \(dis_{1,x}\) 和 \(dis_{n,x}\)，对于点 \(x\)，答案上界即为 \(dis_{1,x}+dis_{n,x}\) 。

考虑最终答案长什么样：一定是先走一段相交的部分，然后再各自分开，走向 \(1/n\) 。记 \(d_x=dis_{1,x}+dis_{n,x}\)，显然，对于有向边 \((x,y,w)\)，若 \(d_y>d_x+w\)，则更新 \(d_y\) 为 \(d_x+w\) 。容易发现上述部分仍然是一个三角不等式，跑最短路松弛即可。

因为线段树上的边权都是 \(0\)，虚点连向实点的边权是 \(1\)，所以跑 0-1 BFS 即可。

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Day2

A

交互题，以后再补。

B

重新学了一遍高维前缀和/sos-dp，深刻理解了！以下内容是在知道本题要 sos-dp 后独立思考得出的。

注意到，钦定一个人为主席后，对于此时得票数大于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案，不管怎么选副主席，均能通过；对于此时得票数小于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案，不管怎么选副主席，均不能通过。所以需要考虑的只有此时得票数恰好等于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案。

记 \(S_i\) 为：钦定 \(i\) 为主席后，得票数等于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案集合。记 \(T_i\) 为 \(i\) 的投票状态取反后的状态。记 \(base_i\) 为：钦定 \(i\) 为主席后，此时得票数大于 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 的议案的个数。那么对于 \(i\) 的答案，形式化表述即为：

\(base_i+\max_{T_j \bigcap S_i} \mid T_j \bigcap S_i \mid\)

这是一个我们熟知的高维前缀 \(\max\) 的形式。但是我们还要对 \(T_j\) 这个条件进行限制，所以不能直接做高维前缀 \(\max\)。接下来考虑如何处理这个限制：注意到，\(T_j\) 是 \(T_j \bigcap S_i\) 的超集，而 \(T_j \bigcap S_i\) 又是 \(S_i\) 的子集。那么，我们可以先以 \(T_j\) 为基础做一遍高维后缀 \(\max\)（即超集 \(\max\)），再做一遍高维前缀 \(\max\) 即可。这样就能保证枚举到的集合同时满足是 \(S_i\) 和 \(T_j\) 的子集这两个条件，因此是合法的。

因为本题还要求主席与副主席的编号不同，所以在转移的时候，不仅要维护最大值和最大值编号，还要维护次大值及其编号。写起来有点令人暴躁。

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