梦熊 NOI2025

2025.7.4 第一场 Day1

• T1

  交互题。（第一次考场几乎做出一道交互题？？）

  我也不知道我是怎么做出来的。我感觉就是把一些找到的性质拼在一起就做出来了。

  注意一个交互题常见技巧：我们往往可以通过排除法不检索最后一个元素。

• T2

  其实这个题是可做题。可惜我考场脑抽去开 T3 了。

  最核心的一步优化：对于最优化问题，考虑对象的贡献在什么时候一定不优，从而简化情况。

  具体的我写在注释里面。

  
  /*
  lxl
  
  即最大子集，使得 ai < bj 对于任何 i != j 成立
  
  如果有 ai < bi：
  考虑枚举 max ai，然后数前缀中 > max ai 的 bj 个数。
  每次插入新的数，修改操作为
  1.  对 ai < aj < bi，++
  2.  其本身加上 aj < ai < bj 的贡献。
  
  如果存在位置有 ai > bi，如何解决？
  等价于在集合中，有 ai < min_{j!=i} bj
  依旧枚举 max ai，然后限制为：
  1.  max ai < bj
  2.  max aj < bi
  于是找到前缀代表 min(ai, bi)
  然后再询问有多少 bj > ai
  这对吗？对的，但是是二维数点，双 log。
  
  aj < min(ai, bi) <= ai < bj
  （这里可以看出如果两个 ai < bi 一定不能同时待在集合里。）
  所以只用记录 ai < bi，然后记得更新对 bi < ai 的贡献即可。
  aj < bi < ai < bj
  计算覆盖整个 [bi, ai] 区间的区间数量。
  
  这里有一个不太算我独立想出来的优化方法：
  考虑到一个 [bi, ai] 的贡献只是 +1
  所以如果存在与 [bi, ai] 相交的区间的话，其就一定不是最优了。
  （思想：对于最优化问题，考虑对象的贡献在什么时候一定不优，从而简化情况）
  所以检查一下有没有相交区间就好了。
  
  具体实现：
  1.  线段树，记录 ai < bi 的区间的贡献。
  2.  树状数组，记录 ai < bi 区间端点，用于在插入 bi < ai 时检查是否有相交
  3.  ？某种数据结构，可以查询是否有 bi < ai 类区间相交，要支持删除。
  看来用 set 会是比较好的选择。
  */
  

• T3

  没有学过闵可夫斯基和优化 DP 导致的。具体见：此。

  这个东西不好实现。需要用可并堆 / dsu on tree + 平衡树，而且这道题涉及到 \(h_{i-j} = f_i * g_j\) 这种玩意儿，还需要开多个堆来维护。

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2025.7.5 第一场 Day2

• T1

  对 Trick 不熟练导致差点没想出来。

  1. 建模为图。发现结构可以化简为树。

  2. Trie 上搜索处理异或最值问题。在看到某一个数 \(x\) 与一堆数之间的异或限制时就可以考虑。类似的题目：P10218 [省选联考 2024] 魔法手杖。

• T2

  我真觉的这个题很板没什么好说的。需要注意的是在 linux 系统下，输出字符时，如果出现了乱码，说明你可能输出了空字符。

• T3

  十分神秘。

  第一步感觉就不是我这种人能想到的：考虑简化为一维的情况。发现在 \((x-1, y)\) 处操作可以将 \((x, y)\) 转化为 \((x-1, y), (x-1, y-1)\)，即向左平移为一条竖线。那么我们可以将所有的点都平移到同一条竖线上去。

  考虑一个点在平移到这条竖线后呈现的图案。你可以发现平移的过程类似于杨辉三角，每个点是 0/1 实际等价为 \(\dbinom{\Delta x}{\Delta y} \bmod 2\)。根据 Lucas 定理，我们可以得知上式为 \(1\) 当且仅当 \(\Delta y\) 的二进制表示被包含于 \(\Delta x\)。

  由于一个点平移结果的两端一定是 \(1\)，所以如果我们找到了竖线上两端的 \(1\)，就能确定答案。怎么求呢？

  先考虑 \(Y = 0\) 的部分分做法。一个很聪明的做法是：如果我们最终取的竖线为 \(x = 1-2^k\)，那么该竖线上呈现的图象一定是连续的 \(1\)。于是二分出左右两端的 \(1\) 即可。然而正解与这个没有什么关系，因为在一般情况下，二分是不方便做“是否有点在左/右侧”的判定的。

  考虑化简问题。实际我们只要找到任意一个竖线上的点，就一定能找到左右两端的点——因为上面提到的 \(\Delta y\) 的二进制表示被包含于 \(\Delta x\) 的性质，我们可以在 \(O(\log V)\) 的时间复杂度内通过枚举 \(2\) 的次幂拼出左右两端。（这个东西还有一个理解方式是杨辉三角的分形结构，你可以打个组合数模 2 的表出来看看。）