刷题杂记 Pt.4
2024.11.5
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顶括号的整除分块：有一个与底括号类似的结论，即若区间的整除值为 \(x\)，则区间的左端点 \(l = \lceil n/x \rceil\)。
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题解中给了另外一种做法，如果对每个不同的除数都只计算一次贡献，那么就可以在 \(O(V \ln V * \log_2 V)\) 的时间复杂度内解决。
当时做这道题的时候不知道为什么大样例的行末出现了空格。。。然后有点武断了，肉眼比对过了大样例就没有管，结果其实大样例挂了。而这个问题实际可以通过写
fc /w file.out file.ans解决。 -
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说来离谱。我在平凡 \(O(nm^2)\) DP 的基础上加了一个卡常优化就过了。具体的复杂度分析如下：
\[T = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^{m-n+i} \sum_{k=i}^j 1 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{m-n+1} j = \dfrac{1}{2}n(m-n+2)(m-n+1) \]我们只用算一个近似值：
\[2T \approx S = n^3 - 2mn^2 + m^2n \]为了计算上式的最值，我们将其求导：
\[S' = 3n^2 - 4mn + m^2 \]解 \(S' = 0\) 有 \(n = m, \dfrac{1}{3}m\)。故当 \(n = \dfrac{1}{3}m\) 时 \(T\) 有近似最大值 \(\dfrac{2}{27}m^3\)，取 \(m = 2000\) 大概为 \(592592592\)，可以卡过。
所以说为什么把时限开那么大？？？正解的时限远远达不到该上界啊？？？
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关于正解：其实这应该通过 EGF 来理解吧？可以发现我们的朴素 DP 能够等价于如下 EGF 相乘的结果：
\[m! * [x^m] \prod_{i=0}^{n-1} \sum_{k=0}^m \dfrac{2^{ik}}{k!} x^k \]然后容易发现，卷积顺序可以任意改变；并且对于每一个 \(i\)，我们都可以通过乘上 \(2^{wk}\) 平移得到 \(i+w\) 的值，而这个平移的性质对于若干 \(i\) 卷积后的结果依然是成立的。于是想到做倍增，这样就只用计算 \(\log n\) 次卷积即可得到答案。
这是一种特殊的倍增优化 DP。感觉应用范围非常窄，首先 DP 基本就只能是卷积型的，然后你必须满足做卷积的多项式之间能够存在 \(O(len)\) 的平移方式。
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如果会李超线段树的话就是个板子。
这道题告诉我们：李超线段树的应用条件就是看能不能做
Update的那个贪心，我估计本质是导数得恒为正数或恒为负数？relevant：P4097 【模板】李超线段树 / [HEOI2013] Segment、P4655 [CEOI2017] Building Bridges（李超树维护斜率优化）
2024.11.6
这场属于是考炸了（
总分 80pts，只写了 T3 qwq
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其实这道题感觉是在我能力范围内的，为什么没有场切呢？
两个关键点我都想到了：
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按照数码从大到小贪心，尽量往前挪。
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对于最后的 \(w \approx 18\) 个数，做 \(2^w\) 的枚举算法。
但是我并没有将它们有机地结合在一起。我觉得有我没有预先实现部分分的原因。
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考场上完全没看 -
如果直接做的话会讨论很多情况，或许图论建模会好一点？
2024.11.7
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简单题我不想多说什么。
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这道题真的是太巧妙了。思路很多种，但如果选的方法不优写起来就很麻烦。有两种较优的实现方案：
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判定法。枚举选的另两个砝码 \(c, d\)，然后枚举 \(a, b, c, d\) 的重量分配、再跑一遍判定是否可能合法（看了这种做法后感觉自己太唐了。。。）。这种做法告诉我们如果值域很小可以考虑在值域上做枚举。
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DP 法。这个方法最具有普适性。出发点是这样的：这个题不好做的问题在于 \(a, b\) 和 \(c, d\) 之间不独立，那么我们就试着去像最短路那样处理它们之间的关系。这个方法告诉我们不要光想着去 ad-hoc，要注意结合我们所会的算法比如最短路 / DP 来解决问题。
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考场上写了个错误的对拍器致场上场下共调试 2h这里有一个调试 DP 的技巧：记录方案。这道题还值得记录的一点就是它所使用的性质：看不到广告的节点，钦定它放广告一定更优。这样我们就将三类节点化为了两类节点，简化了条件。其它就是一些 DP 的 dirty work 了。
2024.11.9
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简单题。
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分析性质然后转数据结构维护题。
实现上注意去重函数会将多余的数放到末尾，这意味着我们可能需要严格的越界判断。
来自 way 的数据结构节省空间方法：
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离散化。
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不写结构体，写多个数组。（因为有对齐规则。）
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同学分享 Pt.1
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“将相邻节点划分为子树内节点以及祖先节点”的意识。
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恶心的地方在于模数不为质数不一定存在逆元，无法除法去重，我们只有利用某种性质去重。观察发现，如果对于当前节点，依旧 \(< d\)，则该节点也一定还存在 \(\le d\) 的祖先，故可以每次就在相距恰好 \(d\) 距离的节点更新。（写得有点乱。。。意会即可。。。）
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P11202 [JOIG 2024] 名前 / Name：DP 优化，用表示从哪里来的二进制数替换字符集。
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[ARC183C] Not Argmax：排列数计数可以等价为笛卡尔树计数，笛卡尔树有性质“根节点为子树所代表区间中最值”，于是可以做区间 DP。类似思想题目：CF1748E
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[ARC175C] Jumping Through Intervals：感觉这个题和 ARC001D 好像：多个区间之间走曼哈顿路径，求最短路，尽量取区间相交的部分。
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P9977 [USACO23DEC] Bovine Acrobatics S：考虑物品往哪些序列里放，而非维护当前的序列。。。
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P8093 [USACO22JAN] Searching for Soulmates S：感觉是不错的贪心综合题，问题在分析每种操作的顺序，以及每种操作内部怎么操作。
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P8095 [USACO22JAN] Cereal 2 S：神秘构造题。。。。“暂时忽略”。。。？
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Strictly Positive Matrix：好像是可以的图论建模。
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Count Paths：提供了可能的处理树上路径问题的思路——按照 DFS 序做树上 DP（区别于按照子树的树上 DP）。
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Minimax Problem：见到 min/max，做二分答案，于是问题能够转化为 0/1 问题，在本题就可以接着做二进制数问题了。
同学分享 Pt.2
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P9981 [USACO23DEC] Minimum Longest Trip G：DAG 逐层处理 / “哈希+倍增”求字符串大小关系
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P9017 [USACO23JAN] Lights Off G：最关键的是利用异或的消去律，将贡献变为独立的。还有代表元素节省状态数量。
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[ARC175D] LIS on Tree 2：还是过会儿自己研究一下吧。。。
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Fib-tree：清新结论题。
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The Omnipotent Monster Killer：不太能理解……
同学分享 Pt.3
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[ARC173C] Not Median：分析以简化枚举范围；类似 manacher 的均摊复杂度算法。
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[ARC170C] Prefix Mex Sequence：大概思想是设计一种能够“动态调整”的 DP 方程。（复习：连续段 DP）
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[ARC170D] Triangle Card Game：应该就是分类讨论题。
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hdu7464 比特跳跃：利用或的“不减”性质，比特跳跃最多使用一次。且可以发现从 1 开始跳跃在大部分情况下都是很优的，除非存在 \(w(1, 2^i) = 0\)，于是对于所有 \(x \bmod 2^{i+1} = 2^i\) 连接 \((x, 2^i)\) 即可。
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[ARC140D] One to One：提前钦定某部分贡献。。。
同学分享 Pt.4
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Chain Queries：BFS 序——被用于修改树上一个点所有相邻点，单修父亲，区修儿子对应区间。
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P10572 [JRKSJ R8] +1-1：类似 P5292 [HNOI2019] 校园旅行
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“不一定要简单路径”：可以重复走，带来性质。
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将某些没有影响的点缩为连通块统一考虑。
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P8272 [USACO22OPEN] Apple Catching G
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区间问题的考虑方法：相交 & 包含。
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如果贪心策略对于任意两项成立，那么它对于整体成立。
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P8904 [USACO22DEC] Mountains G：只有增加 -> 均摊复杂度。
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P8907 [USACO22DEC] Making Friends P
感觉我这几天刷 ARC 构造题把脑子都刷坏了关键点为：扫描线 + 启发式合并
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P8274 [USACO22OPEN] Balancing a Tree G
二分 + 贪心。贪心的证明还需要看一下。
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主要用到两个性质：
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\(x | y \le x + y\)
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通过删叶子我们可以取到 \(1 \sim n\) 中每一种可能的子树大小。
所以给定的树结构根本没有用。容易解决。
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01 Tree：分治的关键——找到一个可以确定的位置，以及一种将问题划分为互不相干子问题的方法。
2024.11.12
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如果仅仅判断括号匹配是否有解，我们不需要管具体哪个左括号匹配哪个右括号。只要前缀中
(数量 \(\ge\))数量且最终数量相等即可。 -
用到一种叫做“广义串并联图”的东西。在做图论题时，如果发现一度点、二度点的存在不影响答案，就可以将它们缩掉。最终得到的图一定满足 \(n' \le 2(n-m), m' \le 3(n-m)\)。
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设 \(l,r\) 分别表示 \(x\) 左、右第一个大于它的位置，则 \(x\) 在笛卡尔树上的子树为 \([l+1, r-1]\) 区间。
2024.11.13
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简单数论（？）题
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数据太水导致可以用滚动数组过掉首先，noip 的字符串匹配题，一定要考虑 KMP。
然后本题可以认为运用了“子序列匹配 \(\rightarrow\) 子串匹配”的 Trick。
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仅判断是否可行的题目往往都使用如下性质：
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弱化需要维护的信息。
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可以构造某种非常简单的有解方法。
譬如本题中，我们可以将“统计不同颜色出现次数，统计是否和为 \(len\)”弱化为“统计出现奇数次颜色出现次数，统计和是否为 \(len\)”。
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2024.11.14
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简单双指针题。
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二分答案 / 数据结构优化 DP。
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精妙哈希题。
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因为存在异或操作，所以联想到异或哈希。容易解决 \(k=1\)。
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通过二进制分组容易解决 \(k = 2\) 的匹配问题。（二进制分组解决两两匹配问题。）
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\(k = 3\) 可以通过两次二进制分组解决，具体讨论一下即可。
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2024.11.15
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简单二分答案。
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DP 优化方法：观察发现 DP 为卷积形式，且卷积式子完全相同，容易使用快速幂优化卷积过程。
题解中还提供了另一种优化方法：钦定每次加入的都是份数最小的堆，则最新的堆大小一定不会超过 \(m/i\)，所以可以做到调和级数的复杂度。主要思想：
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通过钦定枚举顺序的方法优化 DP 复杂度。
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最优性 DP 不一定需要做到完美枚举，可以有重复枚举部分。这有时可以帮助我们进行优化。
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超级无敌巧妙的计数题。
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发现题目为点积的形式。通过对称性，化点积为卷积，容易化简式子。
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考虑通过将一边的值取反，将相等转化为和为 \(0\)。同时发现值域可以进行平移，于是转化为 \(2n\) 个 \([0, m]\) 间的数和为 \(nm\) 的方案数。
后面就容易用钦定容斥解决了。
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这个性质就已经足够变态了。“按 \(y\) 排序然后检查……”
这告诉我们考试毫无头绪时可以猜一猜试一下。
浙公网安备 33010602011771号