网课-线性代数学习笔记
线性
一个函数 \(f(x)\) 是线性的，当且仅当：
\(f(x+y) = f(x)+f(y), f(kx) = kf(x)\)
其中 \(c \in \mathbf{R}\)，\(x, y\) 为某种可运算的元素。
向量
纵向的列表。
-
维数：向量的长度。
-
线性函数：
\[f\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\right) = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n \]其中 \(c\) 不一定是数字。
-
线性变换：定义在向量上的线性函数，返回值为向量。
矩阵
一、描述线性变换的方法。
二、若干列向量组成的序列。
-
矩阵乘法：\(f(v) = ABv\)，其中 \(A, B\) 为矩阵。令 \(C = AB\)，即定义了矩阵乘法。
-
单位矩阵：其他位置为 0，主对角线为 1。
-
矩阵快速幂优化技巧：假如是对同一个矩阵多次查询幂，直接乘复杂度为 \(O(qn^3\log v)\)。预处理矩阵的 \(2^k\) 次幂，每次用询问的向量去乘，复杂度可优化为 \(O(qn^2\log v)\)。
首先，下面的题你都得先看出来用矩阵做。
在使用矩阵+数据结构以后，“只能单向修改的东西”可以实现双向或随机修改。
-
例一
这道题难在设计状态（或者说向量）。实际向量应存入分子和分母，矩阵表达的就是一个通分的过程。
-
矩阵设计方面，很巧，把能塞的都塞进去；卡常部分，使用手动展开矩阵，只存需要的部分。（但好像这道题用单纯的线段树就可以了。。。）
-
这道题体现的是利用矩阵实现双向维护单向信息。因为在套用数据结构后，我们还可以“由右向左”求矩阵积。
-
例四：区间加斐波那契数列，区间查询和
通过矩阵乘法可以转化为区间加同一个数的等比数列，然后就可以用乘法分配律将懒标记转化为一个矩阵加法问题。
-
修改矩阵运算：将 \(+, \times\) 改为 \(\max, +\)，此时单位矩阵主对角线为 \(0\)，其余位置为 \(-\infty\)。
线性基
线性基是在“异或空间”中定义的。如果从高斯消元来理解，它至少是一个上三角矩阵，当然有时也可以把它消成简化梯形矩阵。它主要被用于解决一个集合中任意个数的数异或的最值问题。
-
T441671 0x35-高斯消元与线性空间 - XOR：异或空间中第 \(k\) 小数
这个题要把线性基消成更严格的形式——对于每个 \(p_i\)，它的最高位只有它一个数为 1。消完以后按照 \(k\) 的二进制表示选取即可。
-
时间戳线性基：尽量保留晚插入的向量而继续递归插入早插入的。这样在去除时间戳 \(<t\) 的向量后，可以得到一个 \(\ge t\) 时间戳的线性基。
【我感觉线性基可以再来点例题。。。】
高斯消元
给定矩阵 \(A\) 和向量 \(B\)，求向量 \(X\) 满足 \(AX = B\)。
高斯消元的本质是三个初等行变换：交换某两行、某个行乘上 \(k\)、加减某个行的 \(k\) 倍，它们本质都是初等矩阵。那么对矩阵进行初等行变换即将 \(AX = B\) 变为 \(PAX = PB\)。当 \(PA\) 为简化行阶梯形矩阵时，非常容易解得 \(X\)。
为了减小精度误差，可以在找消元行时挑系数最大的一行。
P4783 【模板】矩阵求逆：有两种理解方式。一种是通过列 \(n^2\) 个同余方程理解；一种是通过 \(AA^{-1} = I\)，然后把 \(A\) 用高斯消元消成 \(I\)，并顺便将 \(A\) 上进行的操作在 \(I\) 上也进行一次。
线性空间
-
线性组合：若某个向量能被某组向量表出，称其为这组向量的线性组合。
-
线性空间：一个关于线性组合封闭的集合即为线性空间（向量空间、空间）。
-
\(n\) 维列向量空间：全体 \(n\) 维向量构成的空间。
-
线性无关：称一组向量线性无关，当且仅当其中任何一个向量都不能被其他向量表出。
-
基：对于一组线性无关的向量张成的空间，这组向量称为其的基。
-
维数：该线性空间基的个数。
-
线性变换的新理解：通过一个线性变换，我们会把当前线性空间映射成另一个线性空间（当然也可能不变）。新的线性空间维数不可能大于原先的线性空间。
一句比较拧的话：“对于任意 \(m\) 维的线性空间，都一定存在一个线性变换，把它映射到 \(m\) 维列向量空间。”
看上去就是一句废话。但 \(m\) 维的线性空间其实可能是若干 \(\ge m\) 维的向量的集合。如 \(\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}， \begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}， \begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}\) 所张成的空间，你可以把它想象成三维空间中一个倾斜的二维平面。
而 \(m\) 维列向量空间则是货真价实的 \(m\) 维向量张成的。如 \(x\) 轴和 \(y\) 轴张成的平面，它在三维中是没有倾斜角的。
所以这一步映射实际是对空间进行了转变的，并不是无意义的。
（下面两个概念是我前面偷懒没写的概念）
-
转置矩阵：将矩阵的行、列交换后的矩阵。记作 \(A^T\)。
-
可逆变换：存在逆的变换（矩阵）。没有全零行的矩阵都满足，初等行变换显然满足。
-
秩：秩是一个矩阵中所有列向量张成的空间的维数。
可以证明初等行变换不改变线性无关的行的数量；并且由于初等行变换为可逆变换，高斯消元后的秩不大于也不小于原来的秩。因此：转置矩阵的秩等于原矩阵的秩。
-
降秩 & 满秩：对于一个矩阵，若所有列向量线性无关则为满秩矩阵，反之则为降秩矩阵。
-
维数公式：设 \(T\) 是从空间 \(V\) 到一个空间的线性变换，记 \(\text{ker}T = \{\vec{v}\in V | T(\vec{v}) = \vec{0}\}\) 表示 \(T\) 的核，\(\text{im}\) 表示 \(T\) 的像，则有 \(\text{dim}(\text{ker}T)+\text{dim}(\text{im}T) = \text{dim}V\)。（如果一个矩阵为降秩矩阵，则通过它的映射可能会使得空间维数减小。）
此题的关键在于构造矩阵。
可以发现，若构造矩阵 \(E\) 每一个数都为 \(1\)，那么经过 \(AE\) 矩阵中每一个数都变为行之和，经过 \(EA\) 矩阵中每一个数都变为列之和。因此，一次操作的结果为 \(AE+EA\)。
另外还需要发现一个性质：\(E^2 = nE\)。因此再推导一下，就可以把高维的式子可以化到很简计算。
行列式
是一个矩阵的属性，用于描述它将空间放大了几倍。
\(\delta\) 也记作 \(\det\)。
注解 2：这等于在原本空间的基上加上一个向量。如下图，最终面积等于所加向量围成的面积 + 原面积。
注解 3：那将是一个降秩矩阵，故而显然。
注解 1：设 \(A, B\) 为两个行向量，则 \(\delta(\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}) + \delta(\begin{bmatrix}B\\A\end{bmatrix}) = \delta(\begin{bmatrix}A\\A\end{bmatrix}) + \delta(\begin{bmatrix}B\\B\end{bmatrix}) = 0\)。
注解 2：总之就是先线性展开矩阵，转为求若干每行每列只有一个数的矩阵的和；然后因为交换行会导致行列式变为相反数，交换次数为逆序对数，故有 \((-1)^{\sigma(p)}\) 一项。（不太理解为什么要枚举全部 \(p\) 的排列，难道不是刚好覆盖了矩阵每个元素的 \(n\) 个排列就行了嘛。）
Matrix-Tree 定理
