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题目链接
分析
子任务 1
\[75465
\]
子任务 2
我也不会做，但我个人认为为
\[20^3\cdot\binom{93}{3}+20^2\times 27\cdot\binom{93}{2}\cdot\binom{7}{1}+20\times 27^2\cdot\binom{93}{1}\cdot\binom{7}{2}+27^3\cdot\binom{7}{3}=1390708445
\]
构造：\(a_i\) 中有 \(93\) 个 \(20\)，\(7\) 个 \(21\)。
子任务 3
我们构造函数
\[f(x)=
\begin{cases}
x\cdot10^{3\cdot(500-x)}&,x\ne 500\\
500&,x=500
\end{cases}
\]
则，我们利用程序求
\[\sum_{i=100}^{500}[f(i)\operatorname{mod}126]
\]
即可。结果为
\[6
\]
子任务 4
我们先了解以下“几何级数”是什么。
几何级数是数学类名词，表示等比数列的前 \(n\) 项和，又称为等比级数。
——百度百科
那就好办了。等比数列有一个性质：
\(s_n,s_{2n}-s_n,\cdots,s_{kn}-s_{(k-1)n}\) 为等比数列，公比为 \(q^n\)（其中 \(q\) 为 \(\{a_n\}\) 的公比）
所以我们有 \(s_7,s_{14}-s_7\) 为等比数列，公比为 \(q^7\)。
这里公比为 \(\dfrac{2014-7}{7}=\dfrac{2007}{7}\)，我们稍微计算一下：
\[s_{21}-s_{14} = \dfrac{2007}{7}(s_{14}-s_7)=\dfrac{4028049}{7}
\]
然后乘上了 \(s_7=7\)，故答案为
\[4028049
\]
子任务 5
假设 \(n\in\mathcal{S}\)，那么 \(n!=\prod_{i=m}^{m+n-4}i\)。我们注意到“\(m+n-4\)”中有 \(-4\)，不妨以 \(4\) 为分界线进行讨论。
当 \(m\leqslant 4\) 时，此时
\[\prod_{i=m}^{m+n-4}i\leqslant \prod_{i=4}^{4+n-4}i=\dfrac{n!}{3!}<n!
\]
故 \(m>4\)，即 \(m\geqslant 5\)。
当 \(m=5\) 时，解方程
\[\begin{aligned}
n!&=\dfrac{(n+1)!}{4!}\\
1&=\dfrac{n+1}{4!}\\
n+1&=24
\end{aligned}
\]
解得 \(n=23\)。
当 \(m>5\)，即 \(m\geqslant 6\) 时，考虑 \(4!\)，可以。考虑 \(5!\)，不可以表示成 \(2\) 个正整数的乘积。所以 \(\prod_{i=m}^{m+n-4}i\) 至少有 \(3\) 个因子。
显然，我们有
\[\prod_{i=m}^{m+n-6}i\geqslant \prod_{i=6}^{n}i
\]
又 \(n!=\prod_{i=m}^{m+n-4}i\)，所以 \((m+n-5)(m+n-4)\leqslant\dfrac{n!}{\prod_{i=6}^{n}i}=5!<11\times 12\)，故 \(m+n\leqslant 15\)。又 \(m\geqslant 6\)，所以\(n\in[4,9]\)。经枚举，知 \(4!=24\)，\(6!=10\times 9\times 8\) 和 \(7!=10\times 9\times 8\times 7\) 满足条件。
综上所述，\(\mathcal{S}=\{4,6,7,23\}\)。总元素和为
\[4+6+7+23=40
\]
子任务 6
我们令在 \(y=2x-17\) 上的一点为 \((x, 2x - 17)\)。这个直线上在横坐标上移动 \(p\) 个单位长度对应着直线上的 \(\sqrt{5}p\) 个单位长度。因此，不妨设这个正方形边长为 \(\sqrt{5}\alpha\)。
显然另一个顶点坐标为 \((x+d,2x+2d-17)\)，通过弦图，我们进行一次分类讨论：
- 第一种情况为 \((x,2x-17)\) 左移 \(\alpha\)，上移 \(2\alpha\) 达到抛物线。此时尚需上移 \(\alpha\)，右移 \(2\alpha\) 得到另一个顶点。不难得到这两个顶点分别为 \(P_1(x-\alpha,2x-17+2\alpha),P_2(x+\alpha,2x-17+3\alpha)\)。代入 \(y=x^2\) 此方程，不难列出
\[\begin{cases}
x^2-2x\alpha+\alpha^2=2x-17+2\alpha\\
x^2+2x\alpha+\alpha^2=2x-17+3\alpha
\end{cases}
\]
这类情况不存在实数解，舍去。
- 第二种情况为\((x,2x-17)\) 左移 \(2\alpha\)，上移 \(\alpha\) 达到抛物线。此时尚需上移 \(2\alpha\)，右移 \(\alpha\) 得到另一个顶点。不难得到这两个顶点分别为 \(P_1(x-2\alpha,2x-17+\alpha),P_2(x-\alpha,2x-17+3\alpha)\)。代入 \(y=x^2\) 此方程，不难列出
\[\begin{cases}
x^2-4x\alpha+4\alpha^2=2x-17+\alpha\\
x^2-2x\alpha+\alpha^2=2x-17+3\alpha
\end{cases}
\]
解得
\[\begin{cases}
x=7\\
\alpha=4
\end{cases}
\mathrm{or}
\begin{cases}
x=25\\
\alpha=16
\end{cases}
\]
那么面积 \(S = 5\alpha^2=\begin{cases}80\\1280\end{cases}\)，所求即为
\[80+1280=1360
\]
子任务 7
我这题不会做，所以去查了查，答案是这么写的：
需分类讨论，答案为
\[29
\]
子任务 8
解前面的方程，解得
\[x_1=\dfrac{1}{2} (1-\sqrt{5}),
x_2=\dfrac{1}{2} (\sqrt{5}+1)
\]
记
\[f(x)=a_1x^{17}+a_2x^{16}+1
\]
那么由因式定理，有
\[f(x_1)=f(x_2)=0
\]
亦即
\[\begin{cases}
\left(\dfrac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{17} a_1+\left(\dfrac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{16} a_2+1=0\\
\left(\dfrac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^{17} a_1+\left(\dfrac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^{16} a_2+1=0
\end{cases}
\]
解得
\[\begin{cases}
a_1 = 987\\
a_2 = -1597
\end{cases}
\]
所求即
\[987\times (-1597) = -1576239
\]
子任务 9
提取公因式。
\[\begin{aligned}
&\dfrac{\sin x +\cos x}{\sin x +\tan x} + \dfrac{\tan x +\cot x}{\cos x +\tan x}+ \dfrac{\sin x +\cos x}{\cos x +\cot x}+ \dfrac{\tan x +\cot x}{\sin x +\cot x}\\
=&\,(\sin x +\cos x)\left(\dfrac{1}{\sin x +\tan x}+\dfrac{1}{\cos x +\cot x}\right)+(\tan x +\cot x)\left(\dfrac{1}{\cos x +\tan x}+\dfrac{1}{\sin x +\cot x}\right)\\
\end{aligned}\]
均值不等式的全部为
\[H_n\leqslant G_n\leqslant A_n\leqslant Q_n
\]
我们在这里需要用到 \(H_n\leqslant A_n\)。
\[\begin{aligned}
&H_n\leqslant A_n\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i}}\leqslant \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}{n}\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{n^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i}}\leqslant {\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}
\end{aligned}
\]
运用到原式，即
\[\begin{aligned}
&(\sin x +\cos x)\left(\dfrac{1}{\sin x +\tan x}+\dfrac{1}{\cos x +\cot x}\right)+(\tan x +\cot x)\left(\dfrac{1}{\cos x +\tan x}+\dfrac{1}{\sin x +\cot x}\right)\\
\geqslant&\,(\sin x+\cos x)\left(\dfrac{2^2}{\sin x+\tan x+\cos x + \cot x}\right)+(\tan x+\cot x)\left(\dfrac{2^2}{\sin x+\tan x+\cos x + \cot x}\right)\\
=&\,(\sin x+\cos x+\tan x+\cot x)\left(\dfrac{4}{\sin x+\tan x+\cos x + \cot x}\right)\\
=&\,4
\end{aligned}\]
等号成立当且仅当
\[\begin{cases}
\sin x + \tan x = \cos x + \cot x\\
\tan x + \cos x = \cot x + \sin x
\end{cases}
\]
易得 \(\sin x - \cos x = \cos x - \sin x\)。换而言之，即 \(\sin x = \cos x\)。又 \(x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，故 \(x = \dfrac{\pi}{4}\) 时，即取到最小值
\[\min_{x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\{f(x)\} = f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 4
\]
子任务 10
借助工具，暴力解。解得
\[\begin{cases}
x= -\dfrac{1}{5}\\\\
y= -\dfrac{2}{3}\\
z= -1
\end{cases}
\mathrm{or}
\begin{cases}
x= \dfrac{1}{5}\\\\
y= \dfrac{2}{3}\\
z= 1
\end{cases}
\]
显然正负号对 \(\dfrac{m}{n}\) 无任何关系，代入，得
\[\dfrac{m}{n}=\dfrac{60706}{50625}
\]
故
\[m+n=111331
\]
浙公网安备 33010602011771号