题解 CF802N 【April Fools' Problem (medium)】

题意简述

给定两个序列，\(\{a_i\}\) 和 \(\{b_i\}\)。要求选出 \(\{i_k\}\) 和 \(\{j_k\}\)，满足：

• \(i_l\le i_m(1\le l\le m\le k)\)，\(j_l\le j_m(1\le l\le m\le k)\)；
• \(i_p\le j_p(1\le p\le k)\)；

求 \(\min\left(\displaystyle\sum_{p=1}^k (a_{i_p}+b_{j_p})\right)\)。

思路简述

我们先看一眼数据范围——\(n\le 2200\)，这暗示我们时间复杂度应该会劣于\(O(n^2)\)。

我们考虑一个图，满足：

• 有 \(n+2\) 个节点，其中第 \(i\) 天 \(1\) 个节点，编号为 \(i\)（\(i=1,2,3,\cdots,n\)），有一个起点（源）\(s\)，一个终点（宿）\(t\)。
• 对于每一天（记当天为第 \(i\) 天，\(i=1,2,3,\cdots,n\)），加 \(3\) 条边：
  • 从 \(s\) 到 \(i\)，流量为 \(1\)，费用为 \(a_i\)。
  • 从 \(i\) 到 \(i+1\)，第 \(n\) 天无此边，流量为 \(k\)，费用为 \(0\)。
  • 从 \(i\) 到 \(t\)，流量为 \(1\)，费用为 \(b_i\)。

不难看出，在该图中，当流量为 \(k\) 时，最小费用刚好为我们所求的 \(\min\left(\displaystyle\sum_{p=1}^k (a_{i_p}+b_{j_p})\right)\)。随便分析一下时间复杂度，为 \(O(nm)\)，足以通过此题。

核心代码如下（用到了 AtCoder 的模板库）：

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> k;
    mcf_graph<ll, ll> graph(n + 2);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int temp;
        cin >> temp;
        graph.add_edge(0, i, 1, temp);
        if (i < n) graph.add_edge(i, i + 1, k, 0);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int temp;
        cin >> temp;
        graph.add_edge(i, n + 1, 1, temp);
    }
    pair<long long, long long> ans = graph.flow(0, n + 1, k);
    cout << ans.second << endl;
    return 0;
}