二维树状数组——SuperBrother打鼹鼠(Vijos1512)

　　树状数组(BIT)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，其编程简单，很容易被实现。而且可以很容易地扩展到二维。让我们来看一道很裸的二维树状数组题：

    在一个“打鼹鼠”的游戏中，鼹鼠会不时地从洞中钻出来，不过不会从洞口钻进去（鼹鼠真胆大……）。洞口都在一个大小为n(n<=1024)的正方形中。这个正方形在一个平面直角坐标系中，左下角为(0,0)，右上角为(n-1,n-1)。洞口所在的位置都是整点，就是横纵坐标都为整数的点。而SuperBrother也不时地会想知道某一个范围的鼹鼠总数。这就是你的任务。

　　每个输入文件有多行。
　　　　第一行，一个数n，表示鼹鼠的范围。
　　　　以后每一行开头都有一个数m，表示不同的操作：
　　　　　　m=1，那么后面跟着3个数x,y,k(0<=x,y<n)，表示在点(x,y)处新出现了k只鼹鼠；
　　　　　　m=2，那么后面跟着4个数x1,y1,x2,y2(0<=x1<=x2<n,0<=y1<=y2<n)，表示询问矩形(x1,y1)-(x2,y2)内的鼹鼠数量；
　　　　　　m=3，表示老师来了，不能玩了。保证这个数会在输入的最后一行。

　　　　询问数不会超过10000，鼹鼠数不会超过maxlongint。

　　把这个问题简单抽象一下。就是：

• 输入1时，对一个二维矩阵中某个位置上加上一个数k。
• 输入2时，求出矩阵中[(x1,y1);(x2,y2)]的子矩阵中，元素的总大小并输出。
• 输入3时，退出。

　　这个问题，输入数据规模可能很大（虽然实际上并非这样，出题人懒到随机生成数据）。而且是动态修改，显然不能使用前缀和，所以，树状数组就是我们的首选。而然，树状数组本来是一维的，如何把它推广到二维去呢。其实很简单，其方法类似与先生成没一行原数组的一维树状数组，再把一个个一维树状数组组合成二维的其对应关系为：

　　C[1][1]=a[1][1],C[1][2]=a[1][1]+a[1][2],C[1][3]=a[1][3],C[1][4]=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]+a[1][4],c[1][5]=a[1][5],C[1][6]=a[1][5]+a[1][6],... 

　　C[2][1]=a[1][1]+a[2][1],C[2][2]=a[1][1]+a[1][2]+a[2][1]+a[2][2],C[2][3]=a[1][3]+a[2][3],C[2][4]=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]+a[1][4]+a[2][1]+a[2][2]+a[2][3]+a[2][4], C[2][5]=a[1][5]+a[2][5],C[2][6]=a[1][5]+a[1][6]+a[2][5]+a[2][6],...

　　C[3][1]=a[3][1],C[3][2]=a[3][1]+a[3][2],C[3][3]=a[3][3],C[3][4]=a[3][1]+a[3][2]+a[3][3]+a[3][4],C[3][5]=a[3][5],C[3][6]=a[3][5]+a[3][6],... 

　　C[4][1]=a[1][1]+a[2][1]+a[3][1]+a[4][1],C[4][2]=a[1][1]+a[1][2]+a[2][1]+a[2][2]+a[3][1]+a[3][2]+a[4][1]+a[4][2],C[4][3]=a[1][3]+a[2][3]+a[3][3]+a[4][3],...（太多了，我就写到3吧） 

　　……

　　通过观察能发现，第一行是本身，第二行是第一行加上其本身，第三行是本身，第四行是第一、二行加上其本身。这和一维的树状数组是一摸一样的。所以，我们很容易就可以写出修改、查询 函数。

void modfily(int x,int y,int data){
    x+=1;y+=1;
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        for (int j=y;j<=n;j+=lowbit(j))
            c[i][j]+=data;
}
int sum(int x,int y){
    x+=1;y+=1;
    int result=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        for (int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
            result+=c[i][j];
    return result;
}

　　这就是二维树状数组的核心了，代码和一维的相仿，异常简单。大家可能有疑问，为什么i,j要加1。其实这是我被坑以后的领悟，如果i,j=0的话，lowbit也永远为0，程序会陷入死循环，直接TLE。从这两个函数我们也可以看出，二维树状数组的查询、修改时间复杂度为log(n)²。

　　数据结构部分解决了，怎么求一个子矩阵中的数的和呢？画张图我们就可以求出，公式为：sum(x2, y2) - sum(x1-1, y2) - sum(x2, y1-1) + sum(x1-1, y1-1)

　　顺便附上这道例题的AC code：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int m=0,n,x,y,k,x1,y1,c[1026][1026];
void modfily(int,int,int);
int sum(int,int);
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int main(void){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;++i)
        for (int j=0;j<n;++j)   c[i][j]=0;
    while (m!=3){
        scanf("%d",&m);
        if (m==1){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
            modfily(x,y,k);
        }
        if (m==2){
            scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&x1,&y1);
            printf("%d\n",abs(sum(x1,y1)-sum(x-1,y1)-sum(x1,y-1)+sum(x-1,y-1)));
        }
    }
    return 0;
}
void modfily(int x,int y,int data){
    x+=1;y+=1;
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        for (int j=y;j<=n;j+=lowbit(j))
            c[i][j]+=data;
}
int sum(int x,int y){
    x+=1;y+=1;
    int result=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        for (int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
            result+=c[i][j];
    return result;
}